Презентация "Предел функции" по математике – проект, доклад

11 класс Урок по теме: «Пределы»

Содержание

Предел функции в точке Односторонние пределы Предел функции при x стремящемся к бесконечности Основные теоремы о пределах Вычисление пределов Раскрытие неопределенностей Первый замечательный предел

Случай 1. А

Случай 2.

Случай 3.

В этом случае говорят, что функция непрерывна в точке а

Предел функции в точке

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может самой точки x0.

Число А называют пределом функции в точке x0 (или при ), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для всех х из δ – окрестности точки x0 справедливо неравенство:

х0

δ окрестность точки x0

ε окрестность точки А

Геометрический смысл предела: для всех х из δ – окрестности точки x0 точки графика функции лежат внутри полосы, шириной 2ε, ограниченной прямыми: у = А + ε , у = А - ε .

Односторонние пределы

В определении предела функции

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к x0 существенно влияет на значение предела, поэтому вводят понятия односторонних пределов.

предполагается, что x стремится к x0 любым способом: оставаясь меньше, чем x0 (слева от x0), большим, чем x0 (справа от x0), или колеблясь около точки x0.

Число А1 называют пределом функции слева в точке x0, если для любого ε > 0 найдется такое δ >0, что для всех справедливо неравенство:

Предел слева записывают так:

Число А2 называют пределом функции справа в точке x0, если

Предел справа записывают так:

А1 А2

Пределы функции слева и справа называют односторонними пределами.

Очевидно, если существует

то существуют и оба односторонних предела, причем А = А1 = А2

Предел функции при x стремящемся к бесконечности

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке .

Число А называют пределом функции при , если

Геометрический смысл этого определения таков: существует такое число М, что при х > M или при x М

Основные теоремы о пределах

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций.

Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) пределов:

Формулировка теорем, когда или аналогичны, поэтому будем пользоваться обозначением: .

Предел произведения двух функций равен произведению пределов:

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

Предел показательно – степенной функции:

Если между соответствующими значениями трех функций

при этом: тогда:

выполняются неравенства:

Если функция f(x) монотонна и ограничена при x x0, то существует соответственно ее левый предел:

или ее правый предел:

Вычисление пределов

Вычисление предела:

начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x).

Если при этом получается конечное число, то предел равен этому числу.

Если при подстановки предельного значения x0 в функцию f(x) получаются выражения вида:

то предел будет равен:

Часто при подстановке предельного значения x0 в функцию f(x) получаются выражения следующих видов:

Эти выражения называются неопределенности, а вычисление пределов в этом случае называется раскрытие неопределенности.

Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенности

Если f(x) – дробно – рациональная функция, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби

Если f(x) – иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю.

Если f(x) – дробно – рациональная функция или иррациональная дробь необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на x в старшей степени

Умножим и разделим функцию на сопряженное выражение.

Первый замечательный предел

Функция

не определена при x = 0.

Найдем предел этой функции при

О В С

Обозначим: S1 - площадь треугольника OMA, S2 - площадь сектора OMА, S3 - площадь треугольника OСА,

Из рисунка видно, что S1 x

Следствия:

Формула справедлива также при x