Презентация "Предел функции в точке" по математике – проект, доклад

Предел функции в точке

Рассмотрим функции, графики которых изображены на следующих рисунках:

Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, но все же изображают они три разные функции, отличающиеся друг от друга своим поведением в точке

Рассмотрим каждый из этих графиков подробнее:

Для функции

график которой изображен на этом рисунке, значение

не существует, функция в указанной точке не определена.

существует, но оно отличное от, казалось бы, естественного значения

точка как бы выколота.

существует и оно вполне естественное.

Для всех трех случаев используется одна и та же запись:

которую читают: «предел функции

при стремлении к равен ».

Содержательный смысл этой фразы следующий: если значения аргумента выбирать все ближе и ближе к значению

, то значения функции все меньше и меньше

отличаются от предельного значения

Или можно сказать так: в достаточно малой окрестности точки

справедливо приближенное равенство:

При этом сама точка

исключается из рассмотрения.

Прежде чем перейти к разбору решений примеров заметим, что если предел функции

при стремлении к равен значению функции в точке

, то в таком случае

функцию называют непрерывной. График такой функции представляет собой сплошную линию, без «проколов» и «скачков».

Функцию

называют непрерывной

на промежутке

, если она непрерывна в

каждой точке этого промежутка.

Примерами непрерывных функций на всей числовой прямой являются:

Функция

непрерывна на луче

а функция

непрерывна на промежутках

А функции

непрерывны на каждом промежутке из области их определения.

Математики доказали утверждение, которое мы будем использовать при вычислении пределов функции в точке:

Если выражение составлено из

рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция

непрерывна в любой точке, в любой

точке, в которой определено выражение

Примеры Вычислить: Решение. Выражение

определено в любой точке

в частности, в точке

Следовательно, функция

непрерывна в точке

а потому предел

функции при стремлении

равен значению функции в

точке Имеем:

В частности, в точке

а потому предел функции при

равен значению функции в точке

за исключением и

функция определена.

не определено в точке

Однако, заданную алгебраическую дробь можно сократить

Но при вычислении предела функции при

поскольку при подстановке этого значения переменной в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на 0 делить нельзя.

Значит, функции

тождественны при условии

саму точку

можно исключить из рассмотрения (об этом

говорилось выше). Поэтому:

Первый замечательный предел

В математике есть пределы, вычисление которых довольно громоздко, поэтому некоторые пределы берут как табличные. Рассмотрим один из таких пределов.

Возьмем числовую окружность, выберем достаточно малое

отметим на окружности точку

и её ординату, т. е.

- это длина дуги - это 0

длина перпендикуляра

Для достаточно малых значений

выполняется равенство

т. е. и, следовательно, Например,

Так вот, в математике доказано, что

Практические задания

Выполни из предлагаемого задачника следующие упражнения: 678; 679(а, б); 680(а, б);681(б, г); 682 (а, б); 683(а, б); 684(а, б); 686.