Презентация "Предел функции в бесконечности и в точке" по математике – проект, доклад

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В БЕСКОНЕЧНОСТИ И В ТОЧКЕ

Понятие предела функции y=f(x) связано с понятием предела числовой последовательности

У числовой последовательности переменная n, возрастая, принимает только целые значения, а у функции переменная х может принимать любые значения.

Число А называется пределом функции у=f(x), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>0, найдется такое положительное число S, что при всех |x|>S, выполняется неравенство:

При достаточно больших по модулю значениях х, значения функции f(x) очень мало отличаются от числа А (меньше, чем на число ε , каким бы малым оно не было).

смысл определения:

Рассмотрим геометрический смысл этого определения. Неравенство

равносильно двойному неравенству

что соответствует расположению части графика у=f(x) в полосе шириной 2ε.

Т.е. число А есть предел функции

какой бы узкой она не была.

если для любого, сколь угодно малого числа ε>0, найдется такое число S, что при всех

соответствующие ординаты графика функции у=f(x) будут заключены в полосе

Доказать, что Пример.

Т.е. для любого ε >0 существует число

Такое, что для всех х, таких что |x|>S, выполняется неравенство:

Для любого ε>0 Решение.

Рассмотренное определение предела при x стремящемся к бесконечности предполагает неограниченное возрастание x по абсолютной величине.

Можно сформулировать понятие предела при стремлении x к бесконечности любого знака, т.е. при

Замечание 1.

В случае, когда неравенство

должно выполняться при всех x таких, что х>s.

должно выполняться при всех x таких, что х

Перейдем к понятию предела функции в точке.

Рассмотрим некоторую функцию у=f(x). Пусть эта функция задана в некоторой окрестности точки x0, кроме, может быть, самой этой точки.

Число А называется пределом функции у=f(x), при х→x0, (или в точке x0) если для любого, сколь угодно малого числа ε>0, найдется такое положительное число δ, что при всех |x-x0|

При всех значениях х, достаточно близких к x0, значения функции у=f(x) очень мало отличаются по абсолютной величине от числа А (меньше, чем на число ε, каким бы малым оно не было).

Неравенство

Аналогично неравенство

равносильно неравенству

Это соответствует расположению части графика

в полосе шириной 2ε и попаданию точки х в δ -окрестность точки x0.

при х→x0, если для любого, сколь угодно малого числа

найдется такая δ–окрестность точки x0, что для всех х≠x0 из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции

будут заключены в полосе

Пусть ε=0.1

Тогда неравенство

будет выполняться при

Аналогично, при ε=0.01

Неравенство будет выполняться при

Т.е. для любого ε >0 неравенство

выполняется при

что для всех х, таких что |x-1|

Определение предела не требует существования функции в самой точке x0, т.к. рассматриваются значения функции в некоторой окрестности точки x0.

Т.е. рассматривая предел

мы предполагаем, что

но не достигает значения x0.

Замечание 2.

переменная x принимает значения только меньше x0 или, наоборот, больше x0, и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах соответственно справа и слева:

Если при Замечание 3.

Определение этих пределов будет аналогично рассмотренному выше при

Вместо значений x, удовлетворяющих условию

рассматриваются такие x, что

при

и значения x, такие что

Если пределы функции f(x) слева и справа одинаковы и равны А, то существует общий предел этой функции, также равный А: