Презентация "Предел числовой последовательности" по математике – проект, доклад

Числовые последовательности

Автор: Елена Юрьевна Семёнова

МОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный

Содержание

Понятие числовой последовательности Примеры числовых последовательностей Способы задания последовательностей Ограниченность числовых последовательностей Возрастание и убывание числовых последовательностей Предел числовой последовательности Гармонический ряд Свойства пределов Примеры Сумма бесконечной геометрической прогрессии Предел функции на бесконечности Предел функции в точке Непрерывность функции в точке

Понятие числовой последовательности

Рассмотрим ряд натуральных чисел N: 1, 2, 3, …, n – 1, n, п + 1, … Функцию y = f(x), x  N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f(n) или y1, y2, …, yn, … или {уn}. Величина уn называется общим членом последовательности.

Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой уn = f(n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена.

Примеры числовых последовательностей

1, 2, 3, 4, 5, … – ряд натуральных чисел; 2, 4, 6, 8, 10, … – ряд чётных чисел; 1, 4, 9, 16, 25, … – ряд квадратов натуральных чисел; 5, 10, 15, 20, … – ряд натуральных чисел, кратных 5; 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... – ряд вида 1/n, где nN; и т.д.

Способы задания последовательностей

Перечислением членов последовательности (словесно). Заданием аналитической формулы. Заданием рекуррентной формулы.

Примеры:

Последовательность простых чисел: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; … Арифметическая прогрессия: an = a1 + (n – 1)d Геометрическая прогрессия: bn + 1 = bn ∙ q

Ограниченность числовой последовательности

Последовательность {уn} называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.

Пример: -1, -4, -9, -16, …, -п2, … - ограничена сверху 0.

Последовательность {уn} ограниченна сверху, если существует число M такое, что для любого п выполняется неравенство уп ≤ М Число М называют верхней границей последовательности.

Последовательность {уn} называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.

Пример: 1, 4, 9, 16, …, п2, … - ограничена снизу 1.

Последовательность {уn} ограниченна снизу, если существует число m такое, что для любого п выполняется неравенство уп ≥ m Число m называют нижней границей последовательности.

Если последовательность ограничена и сверху и снизу, то ее называют ограниченной последовательностью.

Возрастание и убывание числовой последовательности

Последовательность {уn} называют возрастающей последовательностью, если каждый ее член больше предыдущего: у1

Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2п-1, … - возрастающая последовательность.

Последовательность {уn} называют убывающей последовательностью, если каждый ее член меньше предыдущего: у1 > y2 > y3 > y4 > … > yn > yn+1 > …

Пример: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/(2п–1), … - убывающая последовательность.

Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными

Предел числовой последовательности

Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

Число а называется пределом числовой последовательности {уn}: если для любого ε > 0 найдется такое число N = N(ε), зависящее от ε, что │un – a│ N

Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к a при возрастании n. Геометрически это значит, что для любого ε > 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала (a – ε, a + ε).

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

Рассмотрим последовательность:

– гармонический ряд

Если │q│Если │q│> 1, то последовательность уn = q n расходится

Свойства пределов

Если , , то

предел частного равен частному пределов:

предел произведения равен произведению пределов:

предел суммы равен сумме пределов:

постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Если mN, kR, то

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Пример:

Дано: b1 + b2 + b3 + b4 + … + bn + … = 9; (b1)2 + (b2)2 + (b3)2 + (b4)2 + … + (bn)2 + … = 40,5. Найти: b5. Решение:

Ответ:

Предел функции на бесконечности

В этом случае прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x).

х у y = f(x) 0 у = b

Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x| > M, выполняется неравенство |f(x) - b|

Предел функции в точке

Функция y = f(x) стремится к пределу b при x → a, если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех x ≠ a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x - a| b а

Непрерывность функции в точке

Функцию y = f(x) называют непрерывной в точке x = a, если выполняется условие