Презентация "Методы решения квадратных уравнений" по математике – проект, доклад

Методы решения квадратных уравнений

Определение

Квадратные уравнения (КВУР) – уравнения вида ax²+bx+c=0, где x – переменная, a, b и c – любые числа, причем a≠0. (В случае, когда а = 0, КВУР переходит в класс линейных уравнений, т.к. исключается переменная во второй степени)

Методы решения. Неполные КВУР.

I. ax²+bx=0 1) Вынести общий множитель за скобки и разложить на множители: x·(ax+b)=0 x=0 или ax+b=0

1) 2x²+3x=0 x(2x+3)=0 x=0 или 2x+3=0 2x=-3 x=-1,5 Ответ: -1,5; 0

2) 5u²-4u=0 u(5u-4)=0 u=0, u=0, u=0, 5u-4=0; 5u=4; u=0,8. Ответ: 0; 0,8.

Примеры:

II. ax²+c=0 ax²=-c x²= ˂0 =0 ˃0 2корня нет решений x²=0 x= x=0

Примеры: x²+19=0 x²=-19 -19˂0 нет корней Ответ: нет корней.

Примеры: 2) x²-19=0 x²=19 19˂0 2 корня x= x= Ответ: .

III. ax²=0 x²=0 смотри здесь. x=0

Методы решения. Выделение полного квадрата.

b=четное x²-4x+3=0 x²-2·x·2+4-4+3=0 (x-2)²-1=0 (x-2)²=1 x-2=± x-2= x=3 или x=1 Ответ:1, 3.

b=нечетное 2x²+x+2=0 | :2 x²+ x+1=0 x²+2·x· + - +1=0 (x+0,25)²+ =0 (x+0,25)²= - ˂0 =˃ нет корней Ответ: нет корней.

Методы решения. Полные КВУР ax²+bx+c=0

Формула полного квадрата:

x²+8x+16=0 (x+4)²=0 x+4=0 x=-4 Ответ: x=-4.

2) a²-2,6a+1,69=0 (a-1,3)²=0 a-1,3=0 a=1,3 Ответ: a=1,3.

Методы решения. Полные КВУР. Частные случаи.

Теорема 1: Если a+b+c=0, то x =1, x =

Примеры: 5x²-8x+3=0 5-8+3=0 Теорема1 x =1; x = . Ответ: x =1; x = . 2) 3x²-7x+4=0; 3-7+4=0 Теорема1 x =1; x = . Ответ: 1; .

Теорема 2: Если a-b+c=0, то x =-1, x =- .

Примеры: 1) 5x²+9x+4=0 5-9+4=0 Теорема2 x =-1; x =- . Ответ: x =-1; x =- . 2) y²-22y-23=0 1+22-23= 0 Теорема2 x =-1; x =- x =23. Ответ:-1; 23.

Методы решения. Приведенные КВУР.

Теорема ВИЕТА: x²+px+q=0 (a=1) x1 +x2 =-p x *x =q

Примеры: x²-6x+8=0 x =2; x =4 x +x =6 x +x =8 Ответ: 2, 4. y²-10y-24=0 y =-4; y =6 y +y =10 y *y =24 Ответ: y =-4; y =6.

Методы решения. «Переброска»

1) 2x²-5x-3=0 x²-5x-3*2=0 x²-5x-6=0 (решим по Теореме 2) Корни запишем в виде: x = x = =3 Ответ: x =-0,5; x =3.

2) 3x²+2x-5=0 x²+2x-15=0 Решим по Теореме ВИЕТА. x = x = Ответ: ;

Решение КВУР по формуле:

Виды решения Формула корней:

Если второй коэффициент(b)-четный, то дискриминант :

Если второй коэффициент(b)-нечетный, то дискриминант:

Формула 1 Формула 2

Решим примеры 1)

a=4;b=1;c=-33 Т.к. b-нечетное, то решаем это уравнение по формуле 1:

Корни: Ответ:-3; =

2)

a=3;b=-13;c=14 Т.к. b-нечетное, то решаем по формуле 1:

a=12;b=16;c=-3 Т.к. b-четное, то решаем по формуле 2:

3)

4)

a=5;b=26;c=-24 Т.к. b-четное, то решаем по формуле 2:

Авторы: Ученики 8 класса ФМЛ № 38 г.Ульяновска Криворотова Полина Шагаев Анатолий

Руководитель: Учитель математики Алейникова Т.В.