Презентация "Различные способы решения квадратных уравнений" по математике – проект, доклад

ст. Вёшенская

МОУ ВСШ им. М.И. Платова

учитель математики

Калинина Елена Владимировна

2008-2009 уч. год

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. У.У. Сойер

Урок одной задачи

Различные способы решения квадратных уравнений

Цели:

- систематизировать различные способы решения квадратных уравнений, дать представление учащимся о важных вехах истории развития математики; -обучать поискам нескольких способов решения одной задачи и умению выбирать из них наиболее оригинальный , оптимальный; - развивать навыки работы с дополнительной литературой, историческим материалом, формировать интерес к изучению математики

Методы решения квадратных уравнений были известны ещё в давние времена. Их умели решать вавилоняне ( около 2 тыс. лет до н.э.). Об этом свидетельствуют найденные клинописные тексты задач с решениями в виде уравнений. Также они излагались в вавилонских рукописях царя Хаммурапи.

Находки древности

В трудах древнегреческого математика Евклида и многих математиков древности квадратные уравнения решались геометрическим способом

Евклид

Для решения квадратных уравнений поступали следующим образом.

х 2+10х =39 Пусть АВ =х, ВС=5, (10:2) АС=АВ+ВС Если Число 3 является корнем уравнения, ведь отрицательных чисел тогда не знали

Аль - Хорезми

В трактате «Китаб аль-джебр валь-мукабала» хорезмский математик разъяснил приёмы решения уравнений ах2 = вх, ах2 = с и т.д .( буквами а, в, с обозначены лишь положительные числа) и отыскивает лишь положительные корни

Так решал эту же задачу ал-Хорезми в 825году

Строим квадрат со стороной х и на его сторонах – 4 прямоугольника высотой В углах фигуры построим 4 квадрата со стороной . Подсчитаем площадь получившегося большого квадрата: По условию Значит его сторона равна 8, тогда х=3 (Ал-Хорезми не признавал отрицательных чисел).

х 2+10х =39

Древнегреческий математик Диофант

3 век нашей эры

Пусть сумма двух чисел 20, а произведение 96. Предположим , что их разность 2z. Большее из искомых чисел (z+10) , а меньшее (-10 –z) Таким образом (10+z)(10-z)=96 z=2 Следовательно, большее число равно 12, а меньшее8

Не каждое уравнение можно решить данным методом

М. Штифель (1487-1567)

Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду х2 +bx = c, было сформулировано немецким математиком Штифелем. После трудов Рене Декарта и Исаака Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид, как для положительных корней, так и для отрицательных.

И. Ньютон(1643-1727)

Франсуа Виет(1540-1603)

Именно этим французским математиком впервые были введены буквенные обозначения. До этого пользовались громоздкими словесными формулировками. Например: «Квадрат и число 24 равны одиннадцати корням» или x2 + 24 = 11x Формулы, выражающие зависимость корней от его коэффициентов, были выведены Виетом в 1591г.

С 1591 г. мы пользуемся формулами при решении квадратных уравнений

Вспомни алгебраический способ решения квадратных уравнений.

ах2 + bх + с = 0

Выпишите коэффициенты a, b, c

Дискриминант D = b2- 4ac

D > 0 D = 0 D < 0

Два корня Х1, 2 = - b ±

Один корень Х = - b

Уравнение не имеет действительных корней

2а

Формулировка т. Виета. Обратная т. Виета. Зависимость знаков корней квадратного уравнения, от коэффициентов.

Если второй коэффициент уравнения чётный , можно использовать иную формулу – формулу чётных коэффициентов.

Квадратные уравнения можно решить, используя свойства «суммы коэффициентов»

ах2 + bх + с =0 Если в уравнении то

В учебнике мы встречаем задания , где четко обозначено , как решить квадратное уравнение .

В предложенных задачах вы не только решите уравнение, но и узнаете интересные факты.

Задача №1 Известно, что учет населения проводился в Египте и в Китае ещё до нашей эры. Решив квадратное уравнение вы определите, в каком это было тысячелетии до н.э. Реши задачу разными способами

Задача №2 На основе статистических данных можно выделить регионы с максимальным сбросом загрязнённых вод: это Краснодарский край и Москва. Сколько процентов общего количества загрязнённых вод дают эти регионы, вы узнаете решив уравнение.

Реши задачу разными способами

Кислотные осадки разрушают сооружения из мрамора и других материалов. Исторические памятники Греции и Рима , постояв тысячелетия , за последние годы разрушаются прямо на глазах. «Мировой рекорд» принадлежит одному шотландскому городку , где 10 апреля 1974 г. Выпал дождь , скорее напоминающий столовый уксус , чем воду .Устно решите уравнения , найдите верный ответ и соответствующую ему букву и прочитаете название этого «знаменитого» города

Подведение итогов

Наш урок подходит к концу, подумайте о том с какой пользой для вас прошёл этот урок, начните свой ответ с любого из предложений:

Я знаю, что ... Я хорошо знаю, что ... Я должен знать, что ...

« Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх того, и умение»

На уроке мы рассмотрели различные способы Решения квадратных уравнений. Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится алгебра.

До новых встреч!

Желаю творческих успехов