- Нестандартные способы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Конспект урока «Нестандартные способы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств» по алгебре для 11 класса

Тема: Нестандартные способы решения

показательных и логарифмических уравнений

и неравенств.(11 класс)

Капацына Людмила Константиновна, СШЛ №23 ,учитель математики 1 категории.


Цель урока: 1) систематизировать знания о некоторых нестандартных

способах решения, умение применять свойства функций,

правила при решении уравнений и неравенств;

2) развивать умение видеть, умение распознавать

рациональность применения того или иного способа;

3) прививать интерес к математике, воспитывать

математическую грамотность ученика, как при устной,

так и при письменной работе.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран.

На доске:

План урока:

1. Орг. момент.

2. Устная работа.

3.Работа в группах

4. Защита решений.

5. Сам. работа.

6. Задание на дом

7. Итог урока.

Ход урока:

I. Организационный момент.

1.Знакомство с целью урока;

задачами, стоящими перед учениками в ходе уроке.

2.Использование при решении задач :

монотонности функций;

«правила знаков»;

метода оценки;

освобождение от логарифма.

II. Устная работа.

1. Какие из выражений имеют смысл?

а) а) да;

б) б) нет, т.к.

в) в) нет, т.к. а

г) г) да;

д) д) нет, т.к.

2. Решить уравнение:

(Корень уравнения угадываем: х = 1. Докажем, что других корней нет. Левая часть – сумма возрастающих функций есть функция возрастающая; правая часть – постоянное число. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

3. Решить уравнение:

/ :

( Корень уравнения угадываем: х = 2. Докажем, что других корней нет.

Разделим обе части уравнения на

следовательно, в левой части уравнения – сумма двух убывающих показательных функций, правая часть – const. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

Какое свойство функций мы использовали при решении этих уравнений?

(свойство монотонности)


III. Работа в группах. Решение задач.

1 группа. Решить уравнение:

Какой способ надо применить при решении данного уравнения?

Решение:

Используем свойство монотонности убывающей функции, для этого

разделим на

Можем ли мы угадать хоть один корень?

( Можно угадать корень уравнения: х = 2.)

Докажем единственность.

В левой части – сумма убывающих функций, в правой части – const. Следовательно, левая и правая части имеют одну точку пересечения:

точка пересечения, х=2.

значит, уравнение имеет одно решение,

Ответ: х = 2.

2 группа. Решить неравенство:


Применим теорему для функции f(f(x)).

Сформулируем теорему:


Если функция у = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнение

f(x)=x равносильно f(f(x)= x.

ОДЗ:

Решение:

Выполним некоторые преобразования:

вынесем в левой части за скобки 2, сократим:

приведем к общему знаменателю:

приведем подобные

т.к. , а , тогда

функция принимает вид , где - возрастающая функция, следовательно, по теореме имеем:


///////o o////// х

  1. 10

Учитывая ОДЗ, получим:

Ответ: 1 ≤ x x > 10.

3 группа. Решить неравенство:

Решим неравенство методом оценки левой и правой частей

;

Решение:

Заметим, что .

;

Разделим обе части уравнения на положительное выражение , получим:

;

Выделим полный квадрат под радикалом и в показателе степени:

;

не меньше 1 не больше 1

Левая часть неравенства не меньше 1, а правая часть не больше 1.

Неравенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части неравенства будут равны 1, а равенство достигается при х = 3.

Ответ: х = 3.

4группа. Решить уравнение:

;

Решение:

;

немонотонная ф-я немонотонная ф-я

Решим уравнение методом оценки;

Один корень уравнения можно легко угадать, это х = 1.

Преобразуем логарифмы в левой части;

;

;

Выделим полный квадрат в правой части;

Правая часть меньше или равна 1;

наибольшее значение правой части равно 1 при х=1;

В левой части докажем, что выражение под знаком логарифма больше или равно 2: подведением под общую дробную черту, выделением полного квадрата

левая часть достигает своего наименьшего значения, равного 1 при х = 1.

Равенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части уравнения равны 1, а это произойдет при х = 1.

Ответ: х = 1.

5 группа. Решить неравенство:

Решим неравенство методом освобождения от логарифмов.

Освободимся от логарифмов по правилу знаков:

Знак log a b совпадает со знаком произведения (а – 1)∙(в – 1).

Рассмотрим ОДЗ:

Решение:

Т.к. нас интересует только знак левой части, то от можно логарифмов

освободиться по правилу знаков:

Решим неравенство методом интервалов, рассмотрим функцию f(x):

найдем нули функции: нули функции

+ + +

//////o _ ο////////o////// х

½ 2 5

функция f(x) > 0 при учитывая ОДЗ, получим:

Ответ:

IV. Защита проектов.

От каждой группы выступает 1 человек с защитой своего решения (решение записать на ватмане).

V. Самостоятельная работа.


Решить уравнение:

I вариант. II вариант.

Проверим решение уравнений по готовым записям на доске:

I вариант.

II вариант.

Решение:

при х=0 достигает унаим = 2

т.к. основание 0

наибольшее значение равное 2 может быть при х = 0.

Равенство возможно, когда обе части уравнения равны 2 при х = 0.

Ответ:

Решение:

выделим полный квадрат под знаком log:

а

Выделим полный квадрат в правой части:

наименьшее значение равно 1 при

Обе части одновременно будут равны 1 при

Ответ:

Оценить самостоятельно (оценка на полях).

VI. Задание на дом.

1). Решить уравнение:

2). Решить неравенство:

а)

б)

VII. Итог урока.

Какие нестандартные способы решения мы использовали сегодня на уроке?

Давайте посмотрим графические интерпретации этих способов.

На чем они основываются?

(Ответы: использование монотонности функции, использование правила знаков, метод оценки)

Здесь представлен конспект к уроку на тему «Нестандартные способы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств», который Вы можете бесплатно скачать на нашем сайте. Предмет конспекта: Алгебра (11 класс). Также здесь Вы можете найти дополнительные учебные материалы и презентации по данной теме, используя которые, Вы сможете еще больше заинтересовать аудиторию и преподнести еще больше полезной информации.

Список похожих конспектов

Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Тема урока: «Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств». Тип урока:. . Цели урока: урок обобщения и систематизации ...
Нестандартные способы решения уравнений

Нестандартные способы решения уравнений

Муниципальное общеобразовательное учреждение. Шенталинская средняя общеобразовательная школа № 1 «Образовательный центр» муниципального района Шенталинский ...
Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Использование области определения функций

Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Использование области определения функций

Тема урока: Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Использование области определения функций. . ФИО (полностью). . Кривошеин ...
Методы решения уравнений и неравенств

Методы решения уравнений и неравенств

Тема: «Методы решения уравнений и неравенств». 9 класс. ГБОУ СОШ №1968. Учитель математики: Осина И.В. Г.Москва. Тип урока. :. Урок обобщения ...
Рациональные способы решения квадратных уравнений

Рациональные способы решения квадратных уравнений

ПРОБЛЕМНОЕ ОБУЧЕНИЕ. РАЗВИТИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ. В ходе урока учащиеся знакомятся с нестандартными (не входящими в программу) способами ...
Методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции

Методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции

Конспект урока по алгебре и началам анализа по теме. «Методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции». . ...
Методы решения показательных уравнений

Методы решения показательных уравнений

План-конспект урока обобщающего повторения. . «Методы решения показательных уравнений». Цели урока:. Обобщение знаний и умений учащихся по ...
Методы решения логарифмических уравнений

Методы решения логарифмических уравнений

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. «Общеобразовательная Хетовская средняя школа». Виноградовского района Архангельской области. ...
Решение показательных и логарифмических неравенств и их систем

Решение показательных и логарифмических неравенств и их систем

. Коновалова Светлана Юрьевна,. преподаватель математики ФГОУ КПКУ,. г. Краснодар. Тема урока:. « Решение показательных и логарифмических неравенств ...
Решение показательных уравнений и неравенств в 11 профильном классе

Решение показательных уравнений и неравенств в 11 профильном классе

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение лицей № 6. городского округа Тольятти. «Решение показательных уравнений и неравенств ...
Свойства показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств

Свойства показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств

Открытый урок по теме: «Свойства показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств.». Тип урока:. Обобщение и систематизация ...
Графический метод решения систем уравнений с двумя переменными

Графический метод решения систем уравнений с двумя переменными

Общеобразовательная школа. I. -. III. ступеней №5. Симферопольского городского совета Республики Крым. Конспект урока по алгебре. ...
Методы решения квадратных уравнений

Методы решения квадратных уравнений

Организационная информация. . . Тема урока. . Квадратные уравнения: методы решения. . . Предмет. . Алгебра. . . Класс. ...
Методы решения иррациональных уравнений

Методы решения иррациональных уравнений

Урок семинар - практикум в 11-м классе по алгебре и началам анализа. Тема: «Методы решения иррациональных уравнений». Цели и задачи урока:. . ...
Графический способ решения систем уравнений

Графический способ решения систем уравнений

Открытый бинарный урок (алгебра и информатика) по теме:. Графический способ решения систем уравнений. . (9-й класс). Учебник: Алгебра, 9 класс, ...
Графический способ решения систем уравнений

Графический способ решения систем уравнений

Тема урока:. . Графический способ решения систем уравнений. Тип урока. : Урок изучения нового материала. Цели урока. :. Образовательные. ...
Методы решения тригонометрических уравнений

Методы решения тригонометрических уравнений

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 5 с углубленным изучением отдельных предметов. городского ...
Методы решения систем уравнений

Методы решения систем уравнений

МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ. . ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ. . «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №5» г.Михайловска. Методическое объединение ...
Логарифмические уравнения и способы их решения

Логарифмические уравнения и способы их решения

. План-конспект урока по теме:. «Логарифмические уравнения и способы их решения» (10 кл.). Автор:. Филиппова Е.М.,. учитель МБОУ СОШ №1. ...
Квадратные уравнения. Виды и способы решения

Квадратные уравнения. Виды и способы решения

Тема: . Квадратные уравнения. Виды и способы решения. (Урок путешествие). Подготовила: Фисенко Т.В. - учитель математики МБОУ «СОШ № 92», г. Кемерово. ...