- Методы решения тригонометрических уравнений

Конспект урока «Методы решения тригонометрических уравнений» по алгебре для 10 класса

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 5 с углубленным изучением отдельных предметов

городского округа Самара










Разработка открытого

урока по алгебре и началам анализа

в 10 классе по теме

«Методы решений тригонометрических уравнений»















Составитель: Васильева Л.Н.

учитель математики













г.Самара,2014







Разработка

открытого урока по алгебре и началам анализа


Тема: «Методы решений тригонометрических уравнений».

Дата:


Основная цель:

Совершенствование умения применять различные способы решения

тригонометрических уравнений.

Задачи:

Образовательные:

систематизировать сведения о способах решения тригонометрических

уравнений на примере одного уравнения.

Развивающие:

развивать и активизировать познавательный интерес к предмету.

Воспитательные:

формировать умение анализировать свою работу, давать самооценку учебной деятельности,

формировать коммуникативные компетентности, умение работать в группах; чувства ответственности, взаимопонимание, умение контролировать свои действия.

Тип урока:

Урок-практикум; урок одного уравнения.

Методы организации учебной деятельности

Групповая, фронтальная, устная и письменная.

Оборудование урока:

Карточки с заданиями для групповой работы, справочные таблицы, компьютеры с выходом в интернет.

  • Педагогические технологии: технология коллективного взаимообучения, технология сотрудничества

Ход урока:

1. Актуализация знаний.

1) Учащиеся, не решая уравнений, сообщают каким способом, по их мнению, следовало бы решать каждое уравнение:

1) 2cos² 3x + sin 3x – 1 = 0; 4) cos x – sin x = ½;

2) cos x – cos 3x = sin 2x; 5) cos 3x cos 2x = sin 3x sin 2x;

3) 2tg x – 3 = 2tg x; 6) 3sin² x + sin 2x = 3;

7) 3sin x + 4cos x = 2.

Ответы обсуждаются в быстром темпе, при этом повторяются основные методы решения тригонометрических уравнений.

2) актуализация знаний учащихся путем выполнения в парах практической работы с использованием ЭОР

http://fcior.edu.ru/card/22997/prosteyshie-trigonometricheskie-vyrazheniya.html


http://fcior.edu.ru/card/64/reshenie-prosteyshih-trigonometricheskih-uravneniy-k1.html


2.Урок-практикум.

Учитель разбивает учащихся на 6 групп(дифференцированно), каждая группа получает задание на карточках решить уравнение sin x + cos x = 1 определенным способом.


Карточка № 1

Задание: решить уравнение sin x + cos x = 1 с помощью введения вспомогательного угла.

Разделив обе части уравнения на √2, получим

1/√2sin x + 1/√2 cos x = 1/√2


Карточка № 2

Задание: решить уравнение sin x + cos x = 1 с помощью замены выражений sin x и cos x через tg x/2, по формулам: sin x = 2tg x/2 ; cos x = 1- tg² x/2

1+tg² x/2 1+tg² x/2



Карточка № 3

Задание: решить уравнение sin x + cos x = 1 с помощью сведения его к однородному.

Выразить sin x, cos x и 1 через функции половинного аргумента.

sin x = 2sin x/2 cos x/2

cos x = cos² x/2 - sin² x/2

1 = cos² x/2 + sin² x/2


Карточка № 4

Задание: решить уравнение sin x + cos x = 1 с помощью преобразования суммы в произведение Выразить cos x через sin (π/2 - x) и применить формулу sin x + sin y = 2 sin (x+y)/ 2 * cos (x-y)/ 2


Карточка № 5

Задание: решить уравнение sin x + cos x = 1, применив формулу

sin x + cos x = √ 2 sin ( x + π/4 ).


Карточка № 6

Задание: решить уравнение sin x + cos x = 1 путем возведения в квадрат обеих частей уравнения.


После того, как уравнение решено, учащиеся (по одному из каждой группы) показывают решение на доске.

Рассматриваем различные способы решения одного уравнения

sin x + cos x = 1. (*)

I способ.

Введение вспомогательного угла. _

Разделим обе части уравнения на √2_ _

1/√2sin x + 1/√2 cos x = 1/√2, или

cos π/4 sin x + sin π/4 cos x = √2/2

sin (x+ π/4 ) =_√2/2

x+ π/4 = (-1)k arcsin √2/2 + πk, k є Z.

Ответ. x = - π/4 + (-1)k π/4 + πk, k є Z.

II способ.

Замена выражений sin x и cos x через tg x/2 . 2tg x/2 __ + 1- tg² x/2 __ = 1 ,

1+tg² x/2 1+ tg² x/2 где xπ + 2πn, n є Z.

Отсюда 2tg x/2 +1 - tg² x/2 = 1 + tg² x/2

2tg x/2 - 2tg² x/2 = 0

tg x/2 ( 1- tg x/2 ) = 0

tg x/2 = 0 или tg x/2 = 1

x/2 = πn, n є Z; x/2 = π/4 +πk, k є Z;

x = 2πn, n є Z. x = π/2 +2πk, k є Z.

Ответ. х = 2πn, n є Z ; x = π/2 + 2πk, k є Z.


III способ.

Сведение к однородному уравнению.

Выразим sin x, cos x и 1 через функции половинного аргумента.

2sin x/2 cos x/2 + cos² x/2 - sin² x/2 = sin² x/2 + cos² x/2

2sin x/2 cos x/2 - 2 sin² x/2 = 0

Разделим обе части уравнения на 2 cos² x/2

tg x/2 - tg² x/2 = 0

tg x/2 ( 1 – tg x/2 ) = 0

Если tg x/2 = 0, то x/2 = πn, n є Z; x = 2πn, n є Z.

Если tg x/2 = 1, то x/2 = π/4 + πk, k є Z; x = π/2 + 2πk, k є Z.

Ответ. х = 2πn, n є Z ; x = π/2 +2πk, k є Z.


IV способ.

Преобразование суммы в произведение.

Выразим cos x через sin (π/2 - x)

sin x + sin (π/2 -x ) = 1

x + π/2-x x + π/2 - x

2sin 2 cos 2 = 1

2sin π/4 cos (x- π/4 ) = 1

2 cos ( x - π/4 ) = 1

cos ( x - π/4 ) = √2/2

x - π/4 = + arcos √2/2 + 2πn, n є Z;

x = π/4 + π/4 + 2πn, n є Z;


или х = 2πn, n є Z; x = π/2 +2πk, k є Z.

Ответ. х = 2πn, n є Z ; x π/2 +2πk, k є Z.


V способ. __

Применение формулы sin x + cos x = √ 2 sin ( x + π/4 ).

2 sin ( x + π/4 ) = 1 _

sin ( x + π/4 ) = 1/√2 _

x + π/4 = (-1)ⁿ arcsin 1/√2 + πn, n є Z;

x = - π/4 + (-1)ⁿ π/4 + πn, n є Z.

Ответ. x = - π/4 + (-1)ⁿ π/4 + πn, n є Z.


VI способ.

Возведение в квадрат обеих частей уравнения (*).

(sin x + cos x )² = 1

2 sin x cos x + 1 = 1

2 sin x cos x = 0

sin x = 0 или cos x = 0

x = π n, n є Z; x = π/2 + πk, kєZ.


При проверке из первой серии корнями будут являться лишь х = 2πn, а х = х +2πn ( n Z) – посторонний корень.

Из второй серии корнями будут х = π/2 + 2πk, а серия х = - π/2 + 2πk (kєZ) – постороннее решение.

Ответ. x = 2 π n, n є Z; x = π/2 +2πk, kєZ.


4.Постановка домашнего задания

Обязательное домашнее задание:

Учащимся предлагается решить рассмотренными способами уравнение

sin x - cos x = 1

Необязательное домашнее задание:

Учащимся предлагается решить два задания из тестов ЕГЭ (уровень С)

  1. Решить уравнение 7 tg² х + 6 cos² x = sin x tg² х + 6

  2. Найти все значения р, при котором уравнение 4 sin² x = р – 3 cos 2x не имеет корней.


5. Рефлексия

Учащимся предлагается листок обратной связи

Обведите кружочком вариант ответа

  1. У меня все получилось отлично

  2. Возможно, я допустил незначительную ошибку

  3. Я не уверен в правильности выполнения задания

  4. Я не справился с заданием


6.Итог урока.

На данном уроке были систематизированы способы решения тригонометрических уравнений на примере решения одного уравнения. На следующем уроке мы будем применять способы решения тригонометрических уравнений для решения систем уравнений.






Список использованной литературы


  1. Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева и др. Алгебра и начала математического анализа( профильный уровень) 10 класс. М: Мнемозина, 2011

  2. Л.А.Александрова. Алгебра и начала анализа. Самостоятельные работы / Под редакцией А.Г.Мордковича. М.: Мнемозина, 2009.

  3. Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд Дидактические материалы по алгебре и началам анализа - Москва: Просвещение, 1997.

  4. Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10 - 11 классов, - М.: Илекса, 2010.


Интернет-источники:


http://school-collection.edu

www.fipi.ru

ege.edu.ru


Здесь представлен конспект к уроку на тему «Методы решения тригонометрических уравнений», который Вы можете бесплатно скачать на нашем сайте. Предмет конспекта: Алгебра (10 класс). Также здесь Вы можете найти дополнительные учебные материалы и презентации по данной теме, используя которые, Вы сможете еще больше заинтересовать аудиторию и преподнести еще больше полезной информации.

Список похожих конспектов

Методы решения тригонометрических уравнений

Методы решения тригонометрических уравнений

МОУ «Ангоянская средняя общеобразовательная школа». Открытый урок. по алгебре и началам анализа. 10 класс. Тема:. Методы решения тригонометрических ...
Общие методы решения тригонометрических уравнений

Общие методы решения тригонометрических уравнений

. Муниципальное общеобразовательное учреждение. Малоибряйкинская основная общеобразовательная школа. Похвистневского района Самарской области. ...
Виды уравнений. Методы решения уравнений

Виды уравнений. Методы решения уравнений

ГАОУ НПО Профессиональный лицей № 59. Оренбургская область, Красногвардейский район, с. Плешаново. Виды уравнений. Методы решения уравнений. ...
Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Использование области определения функций

Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Использование области определения функций

Тема урока: Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Использование области определения функций. . ФИО (полностью). . Кривошеин ...
Методы решения показательных уравнений

Методы решения показательных уравнений

План-конспект урока обобщающего повторения. . «Методы решения показательных уравнений». Цели урока:. Обобщение знаний и умений учащихся по ...
Методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции

Методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции

Конспект урока по алгебре и началам анализа по теме. «Методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции». . ...
Методы решения логарифмических уравнений

Методы решения логарифмических уравнений

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. «Общеобразовательная Хетовская средняя школа». Виноградовского района Архангельской области. ...
Методы решения квадратных уравнений

Методы решения квадратных уравнений

Организационная информация. . . Тема урока. . Квадратные уравнения: методы решения. . . Предмет. . Алгебра. . . Класс. ...
Методы решения уравнений и неравенств

Методы решения уравнений и неравенств

Тема: «Методы решения уравнений и неравенств». 9 класс. ГБОУ СОШ №1968. Учитель математики: Осина И.В. Г.Москва. Тип урока. :. Урок обобщения ...
Методы решения систем уравнений

Методы решения систем уравнений

МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ. . ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ. . «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №5» г.Михайловска. Методическое объединение ...
Методы решения иррациональных уравнений

Методы решения иррациональных уравнений

Урок семинар - практикум в 11-м классе по алгебре и началам анализа. Тема: «Методы решения иррациональных уравнений». Цели и задачи урока:. . ...
Методы решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными

Методы решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными

План- конспект урока алгебры в 7 классе по теме: «Методы решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными». Орг. момент, сообщение ...
Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Тема урока: «Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств». Тип урока:. . Цели урока: урок обобщения и систематизации ...
Примеры решения тригонометрических уравнений

Примеры решения тригонометрических уравнений

Урок алгебры в 10-м классе. Тема: «Примеры решения тригонометрических уравнений». Олей Вера Ивановна. учитель математики. Разделы:.  . Преподавание ...
Способы решения тригонометрических уравнений

Способы решения тригонометрических уравнений

МОУ «СОШ имени А.П.Чехова». . . . . Урок алгебры в 10 классе. Тема урока:. «Способы. решения тригонометрических уравнений. ...
Методы решений иррациональных уравнений

Методы решений иррациональных уравнений

Сивак Светлана Олеговна. Урок – игра. «Методы решений иррациональных уравнений». Открытый урок по алгебре и ...
Методы решение показательных уравнений

Методы решение показательных уравнений

Автор: Дементьева Ирина Николаевна. Место работы: МБОУ СОШ №2. с.Кривополянье Чаплыгинского района. Липецкой области. . Должность: учитель ...
Графический метод решения систем уравнений с двумя переменными

Графический метод решения систем уравнений с двумя переменными

Общеобразовательная школа. I. -. III. ступеней №5. Симферопольского городского совета Республики Крым. Конспект урока по алгебре. ...
Графический способ решения систем уравнений

Графический способ решения систем уравнений

Тема урока:. . Графический способ решения систем уравнений. Тип урока. : Урок изучения нового материала. Цели урока. :. Образовательные. ...
Графический способ решения систем уравнений

Графический способ решения систем уравнений

Открытый бинарный урок (алгебра и информатика) по теме:. Графический способ решения систем уравнений. . (9-й класс). Учебник: Алгебра, 9 класс, ...