- Примеры решения тригонометрических уравнений

Конспект урока «Примеры решения тригонометрических уравнений» по алгебре для 10 класса

Урок алгебры в 10-м классе. Тема: «Примеры решения тригонометрических уравнений»

Олей Вера Ивановна

учитель математики

Разделы: Преподавание математики



Цель урока:

  1. Закрепить навыки решения простейших тригонометрических уравнений.

  2. Сформировать понятие решения тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным.

  3. Развивать умения сравнивать, выявлять закономерности, обобщать.

  4. Воспитывать ответственное отношение к труду.

Оборудование:

  1. Карточки для повторения формул решения простейших тригонометрических уравнений.

  2. Плакат с алгоритмом решения тригонометрических уравнений (большой на доску и каждому на стол).

Литература: Учебник Мордкович А.Г.“Алгебра и начала анализа, 10-11 класс”.

Ход урока.

I. Повторение

1. sin x = a, cos x = a, tg x = a

При каких значениях а эти уравнения имеют решения?
[sin x и cos x при /а/ 
http://festival.1september.ru/articles/508359/img1.gif 1 tg x при любом a]

2. Повторить формулы решения простейших тригонометрических уравнений (на карточках):

sin x = а х = (-1)к arc sin a+http://festival.1september.ru/articles/508359/img2.gif к, к http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z
sin x = 0
sin x = 1
sin x = -1

cos x = a x=± arc cos a + 2http://festival.1september.ru/articles/508359/img2.gif , n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z
cos x = 0
cos x = 1
cos x = -1

tg x = a x = arc tg a + http://festival.1september.ru/articles/508359/img2.gifn, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

arc sin (-а) = - arc sin а
arc cos (-
а) = http://festival.1september.ru/articles/508359/img2.gif - arc cos а
arc tg
а (-а) = - arc tg а

II. Проверка домашнего задания.

Игра “Поле чудес”. Правила игры несколько изменены, а название оставлено.

Правила игры.

  • Учитель берет понравившееся ему высказывание или слова из песни, стихотворения, пословицу. По количеству букв в этом высказывании подбирается столько же примеров или задач так, чтобы одинаковым буквам соответствовали одинаковые ответы.

  • Каждому ученику учитель дает карточку с заданиями и ученик сразу начинает решать.

  • На доске записаны буквы, которые встречаются в высказывании, и под ними ответы, которые соответствуют этим буквам.

  • Ниже записаны числа по порядку (по количеству букв в высказывании).

  • Ученик, выполнявший задание, называет номер своей карточки и букву, под которой записан ответ.

  • Учитель под числом (…) ставит букву (…). И так далее. Ученики стараются быстрее решить, чтобы получить следующую карточку.

  • За правильно решенные 2-3 задания он может получить оценку. Поэтому желательно карточек иметь более чем число.

Ум хорошо, а два лучше
12 3 45 67 8 9 10 11 12 13 14 15 1 6 17

а

в

д

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image621.gif http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image622.gif, к http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image623.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

е

л

м

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image624.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image625.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image626.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

о

р

у

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image627.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image628.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image629.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

x

ч

ш

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image630.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image631.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image632.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

Уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image633.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image634.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

у

cos x = -1

х = http://festival.1september.ru/articles/508359/img2.gif +2http://festival.1september.ru/articles/508359/img2.gif n, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

м

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image635.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image636.gifhttp://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

x

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image637.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image638.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

o

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image639.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image640.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

p

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image641.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image642.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

o

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image643.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image644.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

ш

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image645.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image646.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

o

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image647.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image648.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

a

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image649.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image650.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

д

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image651.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image652.gif, k http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

в

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image653.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image654.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif x

a

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image655.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image656.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

л

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image657.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image658.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

у

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image659.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image660.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

ч

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image661.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image662.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

ш

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image663.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image664.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

е

Дополнительные уравнения

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image665.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image666.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image667.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image668.gif, k http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image669.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image670.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image671.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image672.gif, k http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image673.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image674.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image675.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image676.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image677.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image678.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image679.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image680.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image681.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image682.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image683.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image684.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image685.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image686.gif, k http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image687.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image688.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image689.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image690.gif, k http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image691.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image692.gif, k http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image693.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image694.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image695.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image696.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

III. Объяснение нового.

1.

  • В предыдущих параграфах были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений: sin x=a, cos x=a, tg x=a

  • К этим уравнениям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства из них требуется применение формул преобразований тригонометрических выражений.

  • Сегодня на уроке мы рассмотрим уравнение, сводящиеся к квадратным.

2.

  • На доске записаны уравнения:

а) 3х-8=х+6 (линейное уравнение)
б) х
2+2х-15=0 (квадратное уравнение)
в) х
4-5х2+4=0 (квадратное уравнение относительно х2).
г) 2 cos
2x-cosx-1=0 (квадратное уравнение относительно cosx)

  • Какие из них являются квадратными?

  • Общий вид квадратного уравнения:

ax2+bx+c=0

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image697.gifhttp://festival.1september.ru/articles/508359/Image698.gif

Корни квадратного уравнения, приведенного, т.е. х2+рх+q=0 можно находить по теореме Виета:

Х12=-р; х1х2=q

  • х4-5х2+4=0 – квадратное уравнение относительно х2. Это уравнение назвали биквадратным. Общий вид ах4+вх2+с=0, где а± 0.

  • Его легко решить методом введения новой переменной, т.е. х2 и уравнение принимает вид: а2-5а+4=0

3. Последнее уравнение тоже квадратное, относительно cosx. Для его решения введем новую переменную. Пусть y=cosx, тогда уравнение можно записать виде: 2-у-1=0. Получили квадратное уравнение.

Д=1+8=9; http://festival.1september.ru/articles/508359/Image699.gif

Следовательно:

а) cosx=1 б) cosx=http://festival.1september.ru/articles/508359/Image700.gif

х=2p n, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z http://festival.1september.ru/articles/508359/Image701.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image702.gif

 http://festival.1september.ru/articles/508359/Image703.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif n

Ответ: 2http://festival.1september.ru/articles/508359/img2.gif n, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z; http://festival.1september.ru/articles/508359/Image704.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

4. Решим уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image705.gif

 Надо привести уравнение к одной функции. Для этого заменим cos2 x на 1-sin2x. Получим относительно xinx квадратное уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image706.gif

Пусть xinx=у, тогда 2+5у-3=0

Получили квадратное уравнение

Д=25+24=49

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image707.gifhttp://festival.1september.ru/articles/508359/Image708.gif

Следовательно:

а) http://festival.1september.ru/articles/508359/Image709.gif б) xinx=-3 – решение не имеет

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image710.gif, к http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image711.gif, к http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/508359/Image712.gif, к http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

5.

tgx-2ctgx=-1. Функции разные. Используя тождество tgx? ctgx=1, выразим http://festival.1september.ru/articles/508359/Image713.gif, заменим ctgxчерез tgx.

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image714.gif пусть tgx=у, то у2+у-2=0 (дальше, как в предыдущем случае).

6. Для закрепления

4 xin2x- cosx-1=0
Заменим xin
2x на 1- cos2x. Получим
4(1- cos
2x)- cosx-1=0
4-4 cos
2x- cosx-1=0
-4 cos
2x- cosx+3=0
4 cos
2x+ cosx-3=0

пусть cosx=у, то

2+у-3=0

Д=1-48=49 http://festival.1september.ru/articles/508359/Image715.gifhttp://festival.1september.ru/articles/508359/Image716.gif

Следовательно,

а) cosx=-1 б) http://festival.1september.ru/articles/508359/Image717.gif

х=http://festival.1september.ru/articles/508359/img2.gif +2http://festival.1september.ru/articles/508359/img2.gif n, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z http://festival.1september.ru/articles/508359/Image718.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/508359/img2.gif +2http://festival.1september.ru/articles/508359/img2.gif n; http://festival.1september.ru/articles/508359/Image719.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

7. №164 (в) - cамостоятельно

2 xin2x- xinx-1=0
пусть xinx=у, то
2-у-1=0

Д=1+8=9; http://festival.1september.ru/articles/508359/Image720.gif http://festival.1september.ru/articles/508359/Image721.gif

Следовательно,

а) xinx=1 б) http://festival.1september.ru/articles/508359/Image722.gif

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image723.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z http://festival.1september.ru/articles/508359/Image724.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image725.gif,к http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z.

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/508359/Image726.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image727.gif, к http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

165(б)

2 xin2x+3 cosx=0

Заменим xin2x на 1- cos2x получим

2(1- cos2x)+3 cosx=0
2-2 cos
2x+3 cosx=0
-2 cos
2x+3 cosx+2=0, т.е.
2 cos
2x-3 cosx-2=0

пусть cosx=у, то
2-3у=0

Д=9+16=25

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image728.gifhttp://festival.1september.ru/articles/508359/Image729.gif

Следовательно,

а) cosx=2 б) http://festival.1september.ru/articles/508359/Image730.gif

решение не имеет http://festival.1september.ru/articles/508359/Image731.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image732.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

http://festival.1september.ru/articles/508359/Image733.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/508359/Image734.gif, n http://festival.1september.ru/articles/508359/img3.gif z

8.

Итог урока

Алгоритм решения тригонометрических уравнений.

  1. Привести уравнение к квадратному, относительно тригонометрических функций, применяя тригонометрические тождества.

  2. Ввести новую переменную.

  3. Записать данное уравнение, используя эту переменную.

  4. Найти корни полученного квадратного уравнения.

  5. Перейти от новой переменной к первоначальной.

  6. Решить простейшие тригонометрические уравнения.

  7. Записать ответ.


АЛГЕБРА Решение тригонометрических уравнений с решением - свежие решения сложных задач, реферат на тему адам смитАЛГЕБРА

Здесь представлен конспект к уроку на тему «Примеры решения тригонометрических уравнений», который Вы можете бесплатно скачать на нашем сайте. Предмет конспекта: Алгебра (10 класс). Также здесь Вы можете найти дополнительные учебные материалы и презентации по данной теме, используя которые, Вы сможете еще больше заинтересовать аудиторию и преподнести еще больше полезной информации.

Список похожих конспектов

Методы решения тригонометрических уравнений

Методы решения тригонометрических уравнений

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 5 с углубленным изучением отдельных предметов. городского ...
Общие методы решения тригонометрических уравнений

Общие методы решения тригонометрических уравнений

. Муниципальное общеобразовательное учреждение. Малоибряйкинская основная общеобразовательная школа. Похвистневского района Самарской области. ...
Методы решения тригонометрических уравнений

Методы решения тригонометрических уравнений

МОУ «Ангоянская средняя общеобразовательная школа». Открытый урок. по алгебре и началам анализа. 10 класс. Тема:. Методы решения тригонометрических ...
Способы решения тригонометрических уравнений

Способы решения тригонометрических уравнений

МОУ «СОШ имени А.П.Чехова». . . . . Урок алгебры в 10 классе. Тема урока:. «Способы. решения тригонометрических уравнений. ...
Использование метода подстановки для решения систем уравнений

Использование метода подстановки для решения систем уравнений

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. «Тимковская основная общеобразовательная школа». Использование . метода . подстановки ...
Графический способ решения система уравнений с двумя переменными

Графический способ решения система уравнений с двумя переменными

Урок алгебры в10 классе по теме: «Графический способ решения система уравнений с двумя переменными». Цель урока:. добиться усвоения учащимися смысла ...
Графический способ решения систем уравнений

Графический способ решения систем уравнений

Тема урока:. . Графический способ решения систем уравнений. Тип урока. : Урок изучения нового материала. Цели урока. :. Образовательные. ...
Графический способ решения систем уравнений

Графический способ решения систем уравнений

2. . . Дата: ________________. Класс: 9. Предмет: алгебра. Тема: «Графический способ решения систем уравнений». Цели:. Использовать графики ...
Графический способ решения систем уравнений

Графический способ решения систем уравнений

Открытый бинарный урок (алгебра и информатика) по теме:. Графический способ решения систем уравнений. . (9-й класс). Учебник: Алгебра, 9 класс, ...
Графический метод решения систем уравнений с двумя переменными

Графический метод решения систем уравнений с двумя переменными

Общеобразовательная школа. I. -. III. ступеней №5. Симферопольского городского совета Республики Крым. Конспект урока по алгебре. ...
Виды уравнений. Методы решения уравнений

Виды уравнений. Методы решения уравнений

ГАОУ НПО Профессиональный лицей № 59. Оренбургская область, Красногвардейский район, с. Плешаново. Виды уравнений. Методы решения уравнений. ...
Способы решения квадратных уравнений

Способы решения квадратных уравнений

Муниципальное общеобразовательное учреждение. . «Средняя общеобразовательная школа № 10 с. Солдато-Александровского Советского района». . ...
Способы решения уравнений высших степеней

Способы решения уравнений высших степеней

Горелова Татьяна Евгеньевна. Учитель математики. МБОУ «СОШ № 11 ЗМР РТ». Тема урока:. «Способы решения ...
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графический метод решения линейных уравнений

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графический метод решения линейных уравнений

Урок алгебры в 7 классе на тему: "Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графический метод решения линейных уравнений". Цели урока:. ...
Способы решения иррациональных уравнений

Способы решения иррациональных уравнений

Муниципальное общеобразовательное учреждение. Гимназия №10 ЛИК. Города Невинномысска Ставропольского края. Конспект урока по математике ...
Решение тригонометрических уравнений (простейших)

Решение тригонометрических уравнений (простейших)

Урок 49. Тема урока:. «. Решение тригонометрических уравнений (простейших). ». Предмет:. Алгебра и начала анализа. Тип занятия:. закрепления ...
Свойства уравнений и воспроизвести алгоритм решения уравнений, содержащих переменную в обеих частях

Свойства уравнений и воспроизвести алгоритм решения уравнений, содержащих переменную в обеих частях

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение. «Средняя общеобразовательная школа №1 г.Суздаля». Учитель математики: Плотникова Татьяна ...
Методы решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными

Методы решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными

План- конспект урока алгебры в 7 классе по теме: «Методы решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными». Орг. момент, сообщение ...
Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Тема урока: «Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств». Тип урока:. . Цели урока: урок обобщения и систематизации ...
Методы решения показательных уравнений

Методы решения показательных уравнений

План-конспект урока обобщающего повторения. . «Методы решения показательных уравнений». Цели урока:. Обобщение знаний и умений учащихся по ...