Презентация "Методы решения тригонометрических уравнений" по математике – проект, доклад

МБОУ «СОШ №6», Дорофеева Лилия Ильинична Алгебра и начала анализа 10 класс

Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения

5klass.net

Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения.

1.Приведение уравнения к однородному. 2.Разложение левой части уравнения на множители. 3.Введение вспомогательного угла. 4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. 5.Приведение к квадратному уравнению. 6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. 7.Универсальная подстановка. 8.Графическое решение.

Задача. Решите уравнение различными способами.

sin x – cos x = 1 ?

Способ первый. Приведение уравнения к однородному.

Это однородное уравнение первой степени. Делим обе части этого уравнения на

т.к., если

что противоречит тождеству

Получим:

Способ второй. Разложение левой части уравнения на множители.

Далее так, как в первом способе.

Способ третий. Введение вспомогательного угла.

В левой части вынесем - корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sin х и cos х.

sin cos - cos  sin  = sin (-)

Внимание! Эквивалентны ли результаты , полученные в рассмотренных способах решений данного уравнения sin x – cosx = 1?

Покажем однозначность ответов.

1-й способ 2-й способ

Способ четвертый. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.

Запишем уравнение sin x – cosx = 1 в виде:

Применим формулу разности двух синусов.

Далее так, как в третьем способе.

Способ пятый. Приведение к квадратному уравнению относительно одной функции.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

или

Внимание! При решении уравнения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка.

Сделаем проверку.

Полученные решения эквивалентны объединению трёх решений

Первое и второе решение совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Проверять не будем. Проверим: Левая часть: а правая часть уравнения равна 1, следовательно это решение является посторонним.

Способ шестой. Возведение обеих частей уравнения в квадрат. sin x – cos x = 1

Ответ: x =  n, n  Z, или cos x =0 sin x = 0 x =  n, n  Z

Способ седьмой. Универсальная подстановка .

Выражение всех функций через (универсальная подстановка) по формулам:

sin x –cosx = 1

Умножим обе части уравнения на

Внимание! Могли потерять корни.Необходима проверка!

Область допустимых значений первоначального уравнения - всё множество R . При переходе к tg из рассмотрения выпали значения x, при которых tg не имеет смысла, т.е.x =  +  n, где n  Z . Следует проверить , не является ли x =  + n, где n  Z решением данного уравнения. Левая часть sin(π - 2πk) – cos(π + 2πk) = sin π – cos π = 0 – (-1) = 1 и правая часть равна единице. Значит, x =  +  n ,где n  Z является решением данного уравнения. Ответ: : x=  + n, n  Z, x= +n, n  Z.

Способ восьмой. Графический способ решения.

На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой части уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решением данного уравнения, у = sin х - график синусоида. у = соs х + 1 – синусоида, смещённая на единицу вверх.

sin x = cos x + 1

Проверь себя !

Решите самостоятельно, применяя разные способы решения одного и того же тригонометрического уравнения: sin2x +cos2x = 1

sin 2x + cos2x = 1

sin 2x + cos 2x = 1 2 sin x cos x + cos 2 x – sin2 x = sin 2x + cos 2x, 2 sin x cos x – 2 sin 2 x = 0, 2 sin x ( cos x – sin x ) = 0, sin x = 0, cos x – sin x = 0, x =  n, n  Z, tg x = 1, Ответ: x =  n, n  Z, Способ: Приведение уравнения к однородному( 1-й способ ).

sin 2x + cos 2x = 1, sin2x – (1 – cos 2x ) = 0, 2 sin x cos x – 2 sin 2x = 0, Далее так, как первым способом. Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2 – й способ ).

sin2x + cos2x =1

Способ: преобразование суммы тригонометрических функций в произведение ( 4-й способ).

разделим обе части уравнения на , Способ: введение вспомогательного угла (3-й способ).

возведём обе части уравнения в квадрат, тогда Способ: приведение к квадратному уравнению относительно ( 5-й способ).

sin 2x + cos2x = 1, sin 2 2x + 2sin 2x cos2x +cos2x = 1, 2sin 2x cos2x + 1 = 1, 2sin 2x cos2x = 0, sin 2x = 0, cos2x = 0 , 2x =  n, n  Z ; 2x = +  n, n  Z, x = , n  Z ; x = + , n  Z. Ответ: x= , n  Z; x = + , n  Z. Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6 – й способ ).

sin2x + cos2x = 1

Способ: универсальная подстановка (7-й способ).

Ответ:

Оцени себя сам

Реши уравнения: Ответы:

Ключ к ответам:

Предлагаем уравнения для тренировки и самоконтроля

Желаем успеха!