Презентация "Преобразования графиков функций" по математике – проект, доклад

Преобразования графиков функций.

Алгебра и начала анализа, 10 класс.

Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

A B C x y 0 1

В качестве исходного графика функции y=f(x) выберем ломанную, состоящую из двух звеньев, заданных точками A(-5;-2), B(-2;4) и C(2;2).

Рассмотрим случаи преобразования данного графика, связанные с изменениями формулы, задающей эту функцию.

I. y=f(x)+a, где a.

В новой формуле значения функции (ординаты точек графика) изменяются на число a, по сравнению со «старым» значением функции. Это приводит к параллельному переносу графика функции вдоль оси Oy: вверх на a ед.отр., если a>0 или вниз на a ед.отр., если a<0. Например:

1) y=f(x)+3; A1 B1 C1 y=f(x) y=f(x)+3 или 2) y=f(x)–2. A2 B2 C2 y=f(x)-2

Понятие «параллельного переноса вдоль оси Oy вверх…, вниз…» можно заменить на «параллельный перенос на вектор с координатами ».

Задание. Запишите координаты концов новых полученных ломанных и сравните их с исходными.

II. y=f(x–a), где a.

В новой формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) изменяются на число a, по сравнению со «старым» значением аргумента. Это приводит к параллельному переносу графика функции вдоль оси Ox: вправо на a ед.отр., если a>0 или влево на a ед.отр., если a<0. Например:

1) y=f(x–7) y=f(x-7)

или 2) y=f(x–(–4))=f(x+4).

y=f(x+4)

Вместо понятия «параллельный перенос вдоль оси Oх вправо…, влево…» можно использовать понятие «параллельного переноса на вектор с координатами .»

III. y=–f(x).

В данной формуле значения функции (ординаты точек графика) изменяются на противоположные. Это изменение приводит к симметричному отображению исходного графика функции относительно оси Ох.

Задание. Запишите координаты концов новой полученной ломанной и сравните их с исходными.

y=–f(x)

IV. y=f(–x).

В данной формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) изменяются на противоположные. Это изменение приводит к симметричному отображению исходного графика функции относительно оси Оу.

y=f(–x)

V. y=kf(x), k>0.

В новой формуле значения функции (ординаты точек графика) изменяются в k раз, по сравнению со «старым» значением функции. Это приводит к : «растяжению» графика функции от оси Oх в k раз, если k>1 или «сжатию» графика функции к оси Ох в раз, если k<1. Например:

1) y=2f(x); или 2) y=0,5f(x). y=2f(x) y=0,5f(x)

Если k<0, то данный случай комбинируют с III.

VI. y=f(kx), k>0.

В новой формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) изменяются в k раз, по сравнению со «старым» значением аргумента. Это приводит к : 1) «растяжению» графика функции от оси Oу в раз, если k<1 или 2) «сжатию» графика функции к оси Оу в k раз, если k>1. Например:

Если k<0, то данный случай комбинируют с IV.

1) y=f(0,5x); или 2) y=f(2x). y=f (0,5x) y=f(2x)

VII. y=|f(x)|.

В новой формуле значения функции (ординаты точек графика) находятся под знаком модуля. Это приводит к исчезновению частей графика исходной функции с отрицательными ординатами (т.е. находящихся в нижней полуплоскости относительно оси Ох) и симметричному отображению этих частей относительно оси Ох.

M

Вспомните определение модуля:

y=|f(x)|

VIII. y=f(|x|).

В новой формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) находятся под знаком модуля. Это приводит к исчезновению частей графика исходной функции с отрицательными абсциссами (т.е. находящихся в левой полуплоскости относительно оси Оу) и замещению их частями исходного графика, симметричными относительно оси Оу.

N F y=f(|x|)

Рассмотрим несколько примеров применения вышеизложенной теории. ПРИМЕР 1. Построить график функции, заданной формулой

ПРИМЕР 2. Построить график функции, заданной формулой

ПРИМЕР 3. Построить график функции, заданной формулой

Масштаб :3 −1 Решение. 1) y=sinx;

2) y=sin(2x) – «сжатие» к оси Оу в два раза;

Остается воспользоваться свойством периодичности любой тригонометрической функции (определите наименьший положительный период самостоятельно) и достроить полученную часть до полного графика на всей числовой оси: