Презентация "Построение графиков функций, содержащих знак модуля" по математике – проект, доклад

Построение графиков функций, содержащих знак модуля

Научно-исследовательский проект. Автор проекта: Гребень Юлия Алексеевна учащаяся 10 «А» класса МОУ гимназии №40 Г. Краснодара Научный руководитель – учитель математики, МОУ гимназии №40 г. Краснодара Шмитько Ирина Анатольевна 2007-08 г.г.

Содержание.

I. Введение. II. Основная часть. 1) Понятия и определения. 2) Теоремы, следствия. 3) Построение графиков. III. Заключение. IV. Список используемой литературы.

I. Введение.

Объект исследования – математика. Предмет исследования – функции, содержащие знак модуля. Проблема исследования: построение графиков функций, содержащих модуль. Цель исследования: получение более широких знаний о модуле числа, различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины. Задача исследования: использование различных методов исследования (теоретический, практический, исследовательский), расширение познавательного интереса к изучению алгебры, углубление знаний по теории модуля и решение задач, выходящих за страницы школьных учебников.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово, которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках. В архитектуре - это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов. В технике - это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и т.п. Модуль объемного сжатия (в физике) - отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

II. Основная часть. Понятия и определения.

Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомиться с простейшими определениями, которые мне будут необходимы: Уравнение - это равенство, содержащее переменные. Уравнение с модулем - это уравнение, содержащее переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Например: |x|=1 Решить уравнение - это значит, найти все его корни, или доказать, что корней нет. В математике модуль имеет несколько значений, но в моей исследовательской работе я возьму лишь одно из них. Модулем или иначе абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число, модулем положительного числа и числа ноль называется само это число.

Теоремы

Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа a≠0 равна большему из двух чисел a или -a. Следствие 1. Из теоремы следует, что |-a|=|a|. Следствие 2. Для любого действительного числа a справедливы неравенства a≤|a| , -a≤|a| Объединяя последние два неравенства в одно, получаем: -|a|≤a≤|a|

Теорема 2. Абсолютная величина любого действительного числа a равна арифметическому квадратному корню из a2 : |a|=√a2 Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять |a| на √a2 Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета. Если a≠0 то на координатной прямой существует две точки a и -a, равноудаленной от нуля, модули которых равны. Если a = 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0.

Функция у =|х|

График функции у =|х| получается из графика у=х следующим образом: часть графика у=х, лежащая над осью х, сохраняется, часть его, лежащая ниже оси х , отображается симметрично относительно оси х.

Функция у=|x| х у 0 У=х Y=|x|

Функция y=-|x|

График функции y=-|x| получается симметричным отображением графика y=|x| относительно оси х.

Функция у=-|x| x y Y=-|x|

Функция у=|х|+а

График функции у=|х|+а получается параллельным переносом графика у=|х| в положительном направлении оси у на а единицу отрезка при а>0 и в отрицательном направлении на |а| при а

Функция у=|x|+a a -a Y=|x|+a Y=|x|-a

Функция у=а|х|

График функции у=а|х| получается растяжением графика у=|х| вдоль оси у в а раз при а>1 и сжатием вдоль этой оси в 1\а раз при 0

Функция y=a|x| У=a|x| Y=a|x|

Функция у=|x+a|

График функции у=|x+a| получается параллельным переносом графика y=|x| в отрицательном направлении от оси х на |x| при а>0 и в положительном направлении на |a| при a

Функция y=|x+a| о У=|x| Y=|x+a| Y=|x-a|

Функция y=f(|x|)

График функции y=f(|x|) получается из графика y=f(x) следующим образом:1) при х>0 график f(x) сохраняется, 2) при x

Y=sinx Y=sin|x|

От теории к практике

Рассмотрим построение более сложных графиков. Построить график функции у=||x|+2|. Построение. 1) Строим график y=|x| 2)Смещаем его по оси у вниз на 2 ед.отр. 3)Отображаем часть графика, расположенного под осью х, симметрично этой оси, в верхнюю полуплоскость.

Функция у=||x|-2| -2 2 Y=|x|-2 Y=||x|-2|

Функция y=||x-1|-2|

Построение. 1)Строим график функции y=|x|. 2)Строим график функции y=|x-1|. 3)Строим график функции y= |x-1|-2. 4)Применяем к графику y=|x-1|-2 операцию “модуль”.

y=|x| 1 y=|x-1| -1 3 y=|x-1|-2 y=||x-1|-2|

Функция y=|x²-4|x|-3|

Построение. 1)Строим график y=x²-4x+3 2)y=x²-4|x|+3 — отражаем полученный график в п.1 относительно оси ординат. Функция чётная. 3)y=|x²-4|x|+3| — часть графика, расположенную в нижней полу плоскости, отражаем относительно оси абсцисс. Полученная в верхней полуплоскости линия и будет графиком заданной функции.

Функция y=|x²-4|x|+3| -3 y=x²-4x+3 y=x²-4|x|+3 y=|x²-4|x|+3|

III. Заключение.

Результаты опроса учеников 6-11 классов гимназии №40.

«Знаете ли вы, что такое модуль числа?»

Мой научно-исследовательский проект можно использовать: 1) на уроках алгебры в 7-9 классах; 2) для индивидуального изучения понятия темы «модуль числа»; 3) групповых и факультативных занятиях; 4) для подготовки к экзаменам.

Мой научно-исследовательский проект будет полезен в работе: ученикам учителям. Он поможет отыскать новые пути совершенствования обычного школьного урока.

Список литературы.

Детская энциклопедия. М., «Педагогика», 1990. Глейзер Г. И. История математики в школе. М. «Просвещение», 1982. Дынкин Е.Б., Молчанова С.А. Математические задачи. М., «Наука», 1993. Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах. М., «Просвещение», 1987. Талочкин П.Б. Неравенства и уравнения. М., «Просвещение», 1989. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. Издательство Московского университета, 1974.