Конспект урока «Исследование функций с помощью производной. Построение графиков» по математике

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛОГОДСКОЙ ОБЛАСТИ

«Череповецкий лесомеханический техникум им.В.П.Чкалова»

Конспект урока по математике.

Тема: « Исследование функций с помощью производной. Построение графиков»

(практическая работа)

Разработчик

Преподаватель математики

Захарова Светлана Витальевна

г. Череповец

2014 г.

Исследование функций с помощью производной. Построение графиков.

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ:

Обучающие:

• Обеспечить в ходе занятия педагогические условия для формирования умения с помощью производной исследовать функцию и строить ее график,

• Повторить схему исследования функции, ее свойства,

• Повторить физический и геометрический смысл производной,

• Повторить таблицу производных, правила дифференцирования.

Развивающие:

• Формирование умения пользоваться математическими инструментами,

• Формирование умения применять свои знания при построении графиков.

Воспитательные:

• Воспитание устойчивого интереса к математике,

• Воспитание математической культуры,

• Развитие самоорганизации учащихся,

• Эстетическое воспитание.

Тип урока. Урок формирования умений и навыков.

Время занятия 1час 30 минут (пара)

Ход урока:

• Организационный момент,

• Постановка целей занятия,

• Актуализация опорных знаний,

  1. Устный опрос,

  2. Тест,

  3. Проверка теста,

  4. Образец выполнения.

• Выполнение практической работы,

• Запись домашнего задания,

• Повторение,

• Итог урока.

Организационный момент.

Приветствие учащихся. Отметка отсутствующих и опоздавших.

Постановка целей занятия.

Сегодня на уроке мы должны:

1. Повторить основные свойства функции, схему исследования функции,

2. Выполнить практическую работу самостоятельно, предварительно разобрав пример у доски,

3. Ответить на вопросы практической работы,

4. Повторение правил дифференцирования, таблицы производных, физического и геометрического смысла производной.

Актуализация опорных знаний.

1. Проверка домашнего задания: повторение основных определений и понятий: (область определения и множество значений функции; четность нечетность функции; определение возрастающей и убывающей функции, экстремумов; теоремы о возрастании и убывании функции, условие точек максимума и минимума).

2. Тест

Приложение 1. (перейти по ссылке ctrl+щелчок мышью по надписи)

3. Проверка заданий теста (СМ. ПРЕЗЕНТАЦИЮ «Проверка теста»)

(С помощью мыши выберите вариант, а затем ответ на поставленный вопрос, если он правильный выйдет надпись ВЕРНО, в противном случае выйдет надпись НЕВЕРНО, щелкните мышкой на появившейся надписи и вы вернетесь к вопросу, либо перейдете на следующий)

4. Схема исследования. (СМ. ПРЕЗЕНТАЦИЮ «Схеме исследования»)

5. Образец выполнения. Исследуйте функцию по первой производной, постройте ее график. .

РЕШЕНИЕ. Для решения поставленной задачи воспользуемся упрощенной схемой исследования.

• Точка пересечения с осью у, подставим в функцию х=0, имеем (0,5)

• Найдем производную функции ,

• Приравняем производную к нулю, и решим полученное уравнение, , х =3, х = -1.

• Найдем промежутки, на которых производная больше и меньше нуля, на , на .

• Оформим дальше решение задачи в виде таблицы:

Х

Max Min

• Найдем дополнительные точки

Х = -4,

Х=-3, у = -4,

Х=1, ,

Х=2, ,

Х=4,

Х=5 ,

Х=6 .

ГРАФИК.

Выполнение практической работы.

Работа выполняется по вариантам. Учащимся необходимо самостоятельно исследовать функцию и построить ее график. Приложение 2.

1 вариант.

2 вариант.

Проверка (СМ. ПРЕЗЕНТАЦИЮ «Проверка пр.раб»).

Повторение.

Вам сейчас будет предложено следующее задание: даны функции, каждой из которых соответствует имя героя из некоторого произведения, если вы правильно найдете производные указанных функций, то сможете каждому герою подобрать героиню. Затем, вычислив значение производной в точке х=0, сможете определить из какого произведения эти герои.

Герой

Имя героя

Героиня

Имя героини

Произведения.

Название произведения

Задание 2. Таблицу производных и правила дифференцирования мы повторили в предыдущем задании. Теперь повторим физический и геометрический смысл производной.

1. В чем заключается физический смысл производной. В частности чему равна производная пути, производная скорости, вторая производная от пути?

2. В чем заключается геометрический смысл производной, чему равен тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке х₀. Когда касательная параллельна оси х?

3. Вам предлагается следующее задание: Нужно разгадать зашифрованное слово. Решив задачи, и сопоставив ответ с соответствующей ему буквой, вы сможете отгадать зашифрованное слово.

Задачи.

1. Вычислите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции , в точке х₀= - 0,5.

2. Найдите точку, в которой касательная, проведенная к графику функции , параллельна оси Х.

3. Тело движется по закону: , определите его скорость в момент времени t=1сек.

4. Тело движется по закону: . Найдите момент времени, когда тело остановится.

5. Скорость материальной точки выражается формулой: . Найдите, ее ускорение в момент времени t=с.

6. Зависимость пути от времени выражается формулой: . Найдите ее ускорение.

Ключ к шифрограмме.

У

Итог урока.

Используемая литература.

1. Дадаян А.А. Математика: Учебник для студентов образовательных учреждений СПО /А.А. Дадаян. – 2-е изд. – М.: Форум - Инфра-М, 2006. – 542,(1)с.: ил. – (Профессиональное образование).

Кол-во экз. -

2. Дадаян А.А. Сборник задач по математике: Учеб. пособие / А.А. Дадаян. – М.: Форум-Инфра-М, 2007 – 350с.: ил.

Приложение 1.

1 вариант.

1. Функция называется убывающей на промежутке (а;в), если на этом промежутке …

А) Большему значению аргумента, соответствует большее значение функции,

Б) ,

В) Меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции,

Г) Большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

2. Функция возрастает на промежутке (а;в), если на этом промежутке …

А) ,

Б) ,

В) ,

Г).

3. Если для любого х из промежутка (а,в) выполняется: , то на этом промежутке…

А) Убывание сменяется возрастанием,

Б) Функция убывает,

В) Функция возрастает,

Г) Имеет экстремум.

4. Точка х₀ является точкой минимума, если в ней …

А) ,

Б) Возрастание сменяется убыванием,

В) Убывание сменяется возрастанием,

Г) Нет верного ответа.

5. Минимум функции это –

А) Наименьшее значение функции,

Б) Минимально возможное значение функции,

В) Значение функции и точке минимума,

Г) Другой ответ

2 вариант.

1. Функция возрастает на промежутке (а,в) если на этом промежутке

А) Большему значению аргумента, соответствует большее значение функции,

Б) ,

В) Меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции,

Г) Большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

2. Функция убывает на промежутке (а;в), если на этом промежутке …

А) ,

Б) ,

В) ,

Г).

3. Если для любого х из промежутка (а,в) выполняется: , то на этом промежутке…

А) Функция возрастает,

Б) Функция убывает,

В) Возрастание сменяется убыванием,

Г) Имеет экстремум.

4. Точка х₀ является точкой максимума, если в ней …

А) ,

Б) Возрастание сменяется убыванием,

В) Убывание сменяется возрастанием,

Г) Нет верного ответа.

5. Максимум функции это –

А) Наибольшее значение функции,

Б) Максимально возможное значение функции,

В) Значение функции и точке максимума,

Г) Другой ответ.

Приложение 2.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

ТЕМА: Исследование функции и построение графиков.

ЦЕЛЬ: Исследовать функцию по первой производной, построить ее график. Ответить на вопросы по графику.

1 вариант

Задача

1. Исследуйте функцию по первой производной и постройте ее график.

У=Х³ – 3Х – 1.

2. Ответьте по графику на вопросы.

   • Область определения функции?

   • Множество значений Функции?

   • Это четная или нечетная функция?

   • Это периодичная функция?

   • Нули функции?

   • Промежутки знакопостоянства?

   • Промежутки возрастания и убывания функции?

   • Точки максимума и минимума?

   • Максимум и минимум функции?

3. Домашнее задание. Дайте определения всех, вышеперечисленных понятий: Область определения, Множество значений, четная и нечетная функции, Периодичная функция, определение возрастающей и убывающей функций; Теоремы о возрастании и убывании функции на промежутке, Определение точек максимума и минимума, Максимум и минимум функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

ТЕМА: Исследование функции и построение графиков.

ЦЕЛЬ: Исследовать функцию по первой производной, построить ее график. Ответить на вопросы по графику.

2 вариант

Задача

1. Исследуйте функцию по первой производной и постройте ее график.

У=2Х³ – 6Х + 2.

2. Ответьте по графику на вопросы.

• Область определения функции?

• Множество значений Функции?

• Это четная или нечетная функция?

• Это периодичная функция?

• Нули функции?

• Промежутки знакопостоянства?

• Промежутки возрастания и убывания функции?

• Точки максимума и минимума?

• Максимум и минимум функции?

3. Домашнее задание. Дайте определения всех, вышеперечисленных понятий: Область определения, Множество значений, четная и нечетная функции, Периодичная функция, определение возрастающей и убывающей функций; Теоремы о возрастании и убывании функции на промежутке, Определение точек максимума и минимума, Максимум и минимум функции.