Презентация "Преобразования графиков функций" по математике – проект, доклад

Преобразования графиков функций Исследовательская работа

Выполнена ученицей 10 а класса МОУ СОШ №1 г.Архангельска Тёмкиной Валентиной Сергеевной Научные руководители: учитель математики ВКК МОУ СОШ №1 г.Архангельска Котцова Ольга Валентиновна учитель информатики и ИКТ ГБОУ АО Кадетская школа-интернат «Архангельский морской кадетский корпус» 2012

y=f(x) y=|f(x)| y=f(|x|) |y|=f(x) |y|=|f(x)| y=|f(|x|)|

Актуальность: Эта тема актуальна, т.к. в конце 11 класса необходимо сдавать единый государственный экзамен по математике, куда будут включены задания, связанные с преобразованием графиков функций. Нами были проанализированы различные собрания с экзаменационными заданиями. Вывод: в сборниках КИМ единого государственного экзамена по математике встречаются задания на использование знаний о различных преобразованиях графиков функций.

Цель: Изучение способов построения графиков функций с помощью различных преобразований. Задачи: Исследовать взаимосвязь графика функции y=f(x) с графиками функций y=|f(x)|, y=f(|x|) , y=f(kx), y=kf(x), y= -f(x), y=f(x)+b, y=f(x-a). Рассмотреть задания на построение графиков функций с помощью преобразований. Попробовать создать рисунок, используя исследуемые функции. Узнать, есть ли более профессиональные и эффективные системы для построения графиков в декартовых системах координат кроме Excel и Calc, которые мы использовали для построения в прошлой работе. Выявить в чём преимущества и недостатки этих компьютерных программ.

Рабочая гипотеза: графики сложных функций, можно построить с помощью преобразований графика исходной функции. Объект – графики функций. Предмет – построение графиков сложных функций с помощью преобразования графика исходной функции. Методы исследования: наблюдения, сравнения, анализ, обобщение, прогнозирование, знаковое моделирование.

y=f(х) y= -f(х)

Симметрия относительно оси «ох»

y=f(|х|)

Сохраняя ту часть, где х≥0, выполнить её симметрию относительно оси «оу»

y=|f(х)|

Сохраняя ту часть, где у≥0, выполнить симметрию относительно «ох» той части, где у

y=cos х y=cos |x| y=cos х y= -cos x y=cos х y=|cos x| ?

y=cos х Графиком является косинусоида, проходящая через точки:

y=cos х

Для того, чтобы из графика функции y=cos x получить график функции y= - cos x , необходимо выполнить симметрию исходного графика относительно оси «ох».

y= -cos x

Для того, чтобы из графика функции y=cos x получить график функции y=cos |x|, необходимо сохранить ту часть исходного графика, где х≥0, и выполнить её симметрию относительно «оу», а это и будет сам график y=cos x.

y=cos |x|

Для того, чтобы из графика функции y=cosx получить график функции y=|cos x|, необходимо сохранить ту часть исходного графика, где у≥0, и выполнить симметрию относительно «ох» той части, где у y=|cos x|

y=cos х y=|cos |x||

Для того, чтобы из графика функции y=cosx получить график функции y=|cos|x||, необходимо сохранить ту часть исходного графика, где х≥0, и выполнить её симметрию относительно «оу», а затем сохранить ту часть получившеюся графика, где у≥0, и выполнить её симметрию относительно «ох» той части, где у y=cos |х| y=|cos |х||

y=cos х y=cos 3x

y=cos 3x График этой функции проходит через точки:

Вывод: Для того, чтобы из графика функции y=cosx получить график функции y=cos 3x, необходимо сжать исходный график в 3 раза вдоль «ох».

y=cos 3x

y=cos х y=cos x/3

y=cos x/3 График этой функции проходит через точки:

Вывод: Для того, чтобы из графика функции y=cos x получить график функции y=cos x/3, необходимо выполнить растяжение исходного графика в 3 раза вдоль оси «ох».

y=cos x/3

y=cos х y=3cos x

y=3cos x График проходит через точки:

Вывод: Для того, чтобы из графика функции y=cos x получить график функции y=3cos x, необходимо растянуть исходный график в 3 раза вдоль оси «оу».

y=3cos x

y=cos х y=cos(x+2)

y=cos(x+2) Графиком является косинусоида, проходящая через точки:

Вывод: Для того, чтобы из графика функции y=cosx получить график функции y=cos(x+2) , необходимо сдвинуть исходный график вдоль оси «ох» на 2 единицы влево.

y=cos(x+2)

y=cos х y=cosx-3

y=cosx-3 Графиком является косинусоида, проходящая через точки:

Вывод: Для того, чтобы из графика функции y=cosx получить график функции y=cos x -3, необходимо сдвинуть исходный график вдоль оси «оу» на 3 единицы вниз.

Итог:

Сохраняя ту часть исходного графика, где х≥0, выполнить её симметрию относительно оси «оу»

Сохраняя ту часть, где у≥0, выполнить симметрию относительно оси «ох» той части, где у y=f(kx)

Если k>1, то сжатие исходного графика в k раз вдоль оси «ох», если 0 y=kf(x)

Если k>1, то растяжение исходного графика в k раз вдоль оси «оу», если 0 y= -f(x)

Симметрия исходного графика относительно оси «ох»

y=f(x-a)

Сдвиг вдоль оси «ох», если а≥0, то на а единиц вправо, если а y=f(x)+b

Сдвиг вдоль оси «оу», если b≥0, то на b единиц вверх, если b

Мы знаем, что для того, чтобы из графика функции получить график функции необходимо растянуть исходный график в 4 раза вдоль оси «оу».

Исследование количества корней уравнения:

y=a 1.

Графиком является косинусоида, проходящая через точки:

2. у=а – линейная функция. Графиком является прямая, параллельная оси «ох» и проходящая через точки (2;а) и (0;а).

а) Уравнение 4cos x=a имеет бесконечное множество корней при б) Уравнение 4cos x=a не имеет корней при

y=4cos x y=6 y=4 y=1 y=-4 y=-6

Исследование количества корней уравнения: |cos 2x|=x² y=|cos 2x| y=cos x y=cos 2x y=|cos 2x| Мы знаем, что для того, чтобы из графика функции y=cos x получить график функции y=cos 2x, необходимо сжать исходный график в 2 раза вдоль оси «ох», а затем, чтобы получить график функции y=|cos 2x|, необходимо сохранить ту часть графика, где у≥0, и выполнить симметрию относительно оси «ох» той части, где у y=|cos 2x| y=x²

Т.к. графики функций y=|cos 2x| и y=x² пересекаются в двух точках, то уравнение |cos 2x|=x² имеет 2 корня.

y=|cos 2x| y=x²

Функции, использованные для построения рисунка

Заключение

Цель достигнута, мы изучили способы построения графиков функций с помощью различных преобразований. Задачи выполнены, мы исследовали взаимосвязь графика функции y=f(x) с графиками функций y=|f(x)|, y=f(|x|) , y=f(kx), y=kf(x), y= -f(x), y=f(x)+b, y=f(x-a),научились строить эти графики, рассмотрели задания с применением таких функций, построили лицо мушкетёра, используя исследуемые функции, выяснили с помощью каких программных средств кроме Excel и Calc можно строить графики функций, выявили, в чём их преимущества и недостатки. Теперь мы знаем, что для построения графиков используется не только Microsoft Office Excel и Open Office Calc, но есть и другие программы, не только не уступающие по возможностям этим программам, но и превышающие их, например,Wolfram Mathematica.

Значимость полученных результатов: сейчас нам стало известно, как строить графики сложных функций с помощью преобразований графика исходной функции, и если встретятся задания с применением этих функций, то мы будем знать, как они выполняются. Использовать эти результаты можно при решении заданий единого государственного экзамена.

Спасибо за внимание!