Презентация "Коэффициенты квадратной функции" по математике – проект, доклад

Элементы квадратного уравнения.

Для подготовки к ГИА. Учитель математики Барсуков А. А. МБОУ Краснодесантская СОШ

Предисловие.

В данном проекте автор специально не использовал теоретическое обоснование, а только выводы на их основе. Для более глубокого и полного изучения этой темы рекомендовано использовать пособия по математике для средней школы.

Общие сведения.

У=ах2+вх+с -общий вид квадратной функции. Квадратное уравнение выглядит так: ах2+вх+с=0. Где «а» коэффициент при х2, «в» - при х, «с» свободный член.

У=6х2 – 4х + 7 Коэффициент а=6

Коэффициент в = – 4

Коэффициент с=7

Корнями квадратного уравнения будем считать точки пересечения параболы-графика квадратной функции с осью ОХ (абсцисс). Обозначим эти точки х1 и х2.

О х1 х2 Х

Корень уравнения будет один, если парабола касается оси ОХ (абсцисс) в одной точке.

О Х

Коэффициент «а».

Коэффициент а – это коэффициент икса в квадрате. От него зависит направление ветвей параболы (вверх или вниз).

3х2 + 5х – 9=0 коэффициент а = 3

Если а>0 (а - положительный), ветви параболы направлены вверх. Если а

у=3х2 а=3 ветви вверх

у=-4х2 а=-4 ветви вниз

Для более удобных рассуждений и работы с коэффициентами «в» и «с» надо обратить внимание на знак коэффициента «а». Он должен быть больше ноля. Если «а» отрицательный, то поменяем все знаки в квадратном уравнении умножив его на минус один.

Пример. –2х2 + 4х – 7=0 |•(-1), 2х2 – 4х + 7=0 – все знаки поменяли на противоположные, коэффициент «а» теперь положительный, начинаем работу с коэффициентами «в» и «с».

Коэффициент «с».

Коэффициент с - это свободный член (число без х). При помощи коэффициента «с» можно сделать вывод о знаках корней уравнения (х1 и х2).

коэффициент с = –9 12 + 3х2 – 5х=0 коэффициент с = 12

Если коэффициент «с» положительный и а>0, то корни уравнения имеют одинаковые знаки (х1 и х2 лежат с одной стороны от ноля на оси ОХ -абсцисс), или уравнение имеет один корень.

Один корень уравнения

х1 х2 о х у х

Если коэффициент «с» отрицательный и а>0, то корни уравнения имеют разные знаки (х1 и х2 лежат с разной стороны от ноля на оси ОХ -абсцисс).

0 х

Если коэффициент с=0, то один корень равен нолю (график параболы проходит через начало системы координат точку 0).

х2=0

х2 + 5х=0, с=0, х1= – 5, х2=0.

Коэффициент «в».

Коэффициент в - это коэффициент икса (число перед х). При помощи коэффициента «в» можно сделать вывод о знаке корня квадратного уравнения с большим модулем (х1 или х2).

коэффициент в = 5 – 5х + 12 + 3х2=0 коэффициент в = –5

Корень квадратного уравнения находящийся дальше от ноля имеет больший модуль.

0

С большим модулем х1 находится дальше от 0

С меньшим модулем х2 находится ближе к 0

Х

Коэффициент «в» всегда имеет знак противоположный корню с большим модулем при сохранении условия а>0.

Пример. 3х2 + 5х – 9=0, коэффициент в=5, следовательно корень уравнения с большим модулем будет с минусом.

«в» - положительный, корень с большим модулем отрицательный

корень с меньшим модулем может быть и положительным, и отрицательным

Если коэффициент в=0, то корни квадратного уравнения будут с одинаковыми модулями и разными знаками (х1 и х2 расположены с разных сторон на одинаковом расстоянии от 0 на оси абсцисс).

о

х2 – 9=0, в=0, х1 и х2 на одинаковом расстоянии от 0.

Дискриминант.

При помощи дискриминанта можно установить количество корней квадратного уравнения или их отсутствие. Дискриминант вычисляется по формуле D=в2 – 4ас.

Пример. 3х2 + 5х – 9=0, а = 3, в = 5, с = – 9, D=в2 – 4ас, D=52 – 4•3•(-9)= =25+108=133.

Дискриминант D=133

Если дискриминант больше ноля, то у квадратного уравнения два корня (две точки пересечения параболы с осью абсцисс).

а>0, ветви вверх, D>0, два корня уравнения, две точки пересечения.

а0, два корня уравнения, две точки пересечения.

Если дискриминант равен нолю, то у квадратного уравнения один корень (одна общая точка параболы с осью абсцисс).

а>0, ветви вверх, D=0, один корень уравнения, одна общая точка.

а

Если дискриминант меньше ноля, то у квадратного уравнения нет корней ( общих точек параболы с осью абсцисс нет).

а>0, ветви вверх, D

а

Пример.

Какое из уравнений соответствует данному рисунку? а) 5х2 + 2х + 4=0 б) – 2х2 – 6х – 3=0 в) 2х2 + 6х – 4=0 г) 2х2 – 6х + 2=0 д) 2х2 – 6х – 2=0

D = – 76, D

а = – 2, а

в=6, корень с большим модулем отрицательный.

с=2, с>0, корни с одинаковыми знаками, точки пересечения с одной стороны от 0.

Это уравнение соответствует рисунку.

2х2 – 6х – 2=0 - это уравнение соответствует рисунку, так как: D=44, D>0, два корня уравнения, две точки пересечения; а=2, а>0, ветви направлены вверх; в = –6, корень уравнения с большим модулем положительный. с = –2, с

два корня уравнения с разных сторон от 0.

ветви направлены вверх

корень с большим модулем положительный

Проверь себя! (1)

По рисунку определите, верно ли утверждение х10?

Да Нет

Проверь себя! (2)

По рисунку определите, верно ли утверждение D=0?

Проверь себя! (3)

По рисунку определите, верно ли утверждения с=0?

Проверь себя! (4)

По рисунку определите, верно ли утверждение один корень уравнения=0?

Проверь себя! (5)

По рисунку определите, верно ли утверждение D > 0?

Проверь себя! (6)

По рисунку определите, верно ли утверждение а>0?

Конец.

Литература: учебники алгебры для средней школы авторских групп А. Г. Мордковича, Г. К. Муравина, Ш. А. Алимова. Экспертиза: учителей 1 категории МОУ Краснодесантской СОШ В. Н. Маличенко, С. В. Шувалов.

Примечание.

Свои замечания и предложения высылайте на адрес 2010aab@gmail.com. Используйте пожалуйста. Редактируйте по своему усмотрению.

Неправильно.

Возврат к примеру.

Переход к лекциям.