Конспект урока «Применение понятия периодической функции» по математике для 10 класса

РАЗРАБОТКА УРОКА

учителя математики МОУ гимназии № 35 г.о. Тольятти

Батаевой Галины Александровны

Предмет: алгебра и начала анализа

Класс: 10

Тема урока: Применение понятия периодической функции

Цели урока:

Образовательная: повторить и закрепить знания учащихся о периоде функции;

сформировать умение применять теоремы о периоде функции.

Развивающая: развивать умение анализировать, умение обобщать;

формировать навыки самостоятельного учебного труда учащихся.

Воспитательная: побуждать учащихся к само- и взаимоконтролю,

воспитывать познавательную активность, самостоятельность.

Тип урока: урок формирования и закрепления знаний , умений и навыков.

Оборудование : ноутбук, проектор, индивидуальные оценочные листы.

Оформление доски: тема урока, дата, задание 1, 2.

Структура урока:

- Индивидуальная проверка домашней работы по готовым ключам (через проектор).

Самооценка.

- Выявление проблемы и постановка целей урока.

- Решение нестандартных задач, составление алгоритма.

- Рефлексия. Самооценка.

- Дифференцированное домашнее задание.

Ход урока:

1 этап

Вводно- мотивационная часть

_____________________________________________________________________________

УВМ₁ ( учебно-воспитательный момент )

Задачи:

Форма организации а) установить правильность и осознанность

познавательной деятельности усвоения учащимися понятия периодической

функции;

( ФОПД ) – индивидуальная б) оценить самостоятельно домашнюю работу.

Методы обучения ( МО ) -

наглядно-репродуктивный

Проверка домашней работы ( через проектор ). Слайд 1,2.

1. Найдите период функции ; ( 3балла.)

2. Функция у= f (х) –нечетная, периодическая с периодом Т = 8. На отрезке

[0; 4 ] она задана формулой f(х) = 12х – 3х². Найдите f ( 15). ( 3 балла)

3. Функция у = f(х) определена на всей числовой прямой, имеет период Т = 3, f(2) = 7. Найдите значение выражения 5f( 11 ) + 2 f ( -1 ) – 6 f ( - 10 ).

( 2 балла)

4*. Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько ), при которых период функции у = sin (( 2а +5 )х) равен .

( 5 баллов )

Возьмите оценочные листы и проставьте свои баллы за домашнюю работу .

Фамилия, имя

учащегося

Оцените свою домашнюю работу (предлагается решение по проектору, слайд2).

Всего за домашнюю работу 13 баллов.

Результат УВМ₁. Мы повторили определение периодической функции, теоремы о

периоде функции, проверили правильность выполнения домашней

работы, самостоятельно оценили ее.

__________________________________________________________________________

УВМ₂ Задачи:

ФОПД – фронтальная а) выявить неверные представления учащихся

МО – наглядно-эвристический о периоде функции, осуществить их коррекцию;

б) выявить учебную проблему и вместе с учениками

определить цель урока.

Вопросы по выполнению домашней работы:

1. Какие наименьшие положительные периоды у функций y = sin x, y = cos x, y= tg x,

y= ctg x, y= sin ² x, y = cos ² x ?. Какая теорема помогает определять периоды сложных функций? Демонстрация слайда 3.

2. Периодическая четная функция чем отличается от периодической нечетной

функции? (График четной периодической функции симметричен относительно оси

ординат, график нечетной периодической функции симметричен относительно

начала координат)

3. Почему последняя задача оказалась трудной ? ( Мы такие задачи еще не решали.)

4. Какие типы задач мы уже умеем решать по теме? Демонстрация слайда 4.

1 тип задач ( по определению периодической функции )

Функция у =f(х) определена на всей числовой прямой и является периодической

с периодом, равным 10. Известно, что f (1) =1, f (5) = 3 и на отрезке [ 1;5 ]

функция является линейной. Найдите значение функции f (24).

2 тип задач ( по теоремам )

Найдите период функции .

3 тип задач ( графически – аналитический метод )

Функция f(х) на промежутке [ 0;2) определяется выражением 8х – 4х² и является

периодической с периодом 4. Функция g(х) на промежутке [0;4) задается

выражением 4х –х² – 1 и является периодической с периодом 4. Найдите

количество решений уравнения f(х) = g(х) на отрезке [ 3; 10 ].

4 тип задач ( задача с параметром )

Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько ), при которых период функции у = sin (( 2а +5 )х) равен .

Выявление проблемы и постановка целей урока. Внимание на слайд 5.

Цели урока: повторить и закрепить знания о периоде функции.

уметь применять знания в нестандартных ситуациях.

развивать умение анализировать, умение обобщать

уметь работать самостоятельно.

Результат УВМ₂ . Таким образом, мы обнаружили неверные представления у

некоторых учащихся о периоде функции, провели их коррекцию;

мы знаем теоремы о периоде функции, умеем их применять в двух

типах задач;

мы выявили новую учебную проблему, поставили цели урока

___________________________________________________________________

2 этап

Основная часть урока.

___________________________________________________________________________

УВМ₁ Задача:

ФОПД – индивидуальная самостоятельное выделение учениками

МО- наглядно-эвристический задач нового типа

Ученикам предлагается набор задач для обсуждения ( разложены на партах цветные листы)

1. Функция f(х) периодическая с периодом, равным 2. На промежутке [ 0;2 ) эта функция совпадает с функцией у= х² – 2. Сколько раз пересекаются графики функций у= f(х) и у = 1 на отрезке [ 1;7]?

2. Функция f(х) периодическая, ее наименьший положительный период равен 5.

Определите чему равен наименьший положительный период функции

f(х) + sin .

3. Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько ), при которых период функции у = sin (( 2а +5 )х) равен .

4. Функция у =f(х) определена на всей числовой прямой и является периодической

с периодом, равным 10. Известно, что f (1) =1, f (5) = 3 и на отрезке [ 1;5 ]

функция является линейной. Найдите значение функции f (24).

5. Функция f(х) определена на всей числовой прямой и является четной и

периодической с периодом 6. На отрезке [0;3] она задана равенством

f (х) = | 2х – 1 | – 2. Найдите количество нулей этой функции на отрезке [ -2; 11] .

Предлагается выбрать нестандартные задачи. Объясните свой выбор.( Задачи 3, 5)

Почему не выбрали вторую задачу? Как она решается? ( Эта задача стандартная , решается по второй теореме о периодических функциях)

Результат УВМ_{1 .} Итак, каждый из вас поработал самостоятельно и определил для

себя нетипичные задачи по теме. Обсудив с классом свой выбор,

мы определили две нестандартные задачи - № 3 и № 5.

_____________________________________________________________________________

УВМ₂ Задача:

ФОПД – фронтальная составить алгоритм для решения нового

МО – практически-эвристический типа задач.

Решение задачи № 3 из списка, составление алгоритма.

3. Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько ), при которых период функции у = sin (( 2а +5 )х) равен . ( В.8, 2006г. )

Решение задачи ( на доске )

, 2а + 5 0, а - 2,5 .

| 2а + 5 | = 4

а₁а₂ = 2,25

Ответ: 2,25.

Первое обсуждение с учащимися алгоритма решения задачи.

Решение задачи этого же типа( на доске )

3. Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько ), при которых период функции равен

( В.8, 2007г. )

= а, а 0 ;

, а² + 4а – 8,5 0

14 = 4 | а² + 4а – 8,5 |

7 = 2 | а² + 4а – 8,5 |

| а² + 4а – 8,5 | = 3,5

1) 2)

а² + 4а – 12 = 0 а² + 4а – 5 = 0

a₁ = - 6, a ₂ = 2 a₁ = - 5, a ₂ = 1

a = 2 a = 1

Ответ: 2.

Алгоритм: 1. Определить период функции по теоремам.

2. Приравнять периоды функций

3. Решить уравнение с параметром.

4. Ответить на вопрос задачи.

Результатом УВМ₂ является алгоритм решения нового типа задач.

______________________________________________________________________

3 этап

Заключительная часть ( рефлексивно- оценочная )

_________________________________________________________________________

УВМ₁ Задача:

ФОПД – индивидуальная организовать выявление результативности

МО - практически-эвристический деятельности учащихся ;

Рефлексия. а) Подведем итоги урока. Внимание на слайд 6.

1 тип задач ( по определению периодической функции )

Функция у =f(х) определена на всей числовой прямой и является периодической

с периодом, равным 10. Известно, что f (1) =1, f (5) = 3 и на отрезке [ 1;5 ]

функция является линейной. Найдите значение функции f (24).

2 тип задач ( по теоремам )

Найдите период функции .

3 тип задач ( графически – аналитический метод )

Функция f(х) на промежутке [ 0;2) определяется выражением 8х – 4х² и является

периодической с периодом 4. Функция g(х) на промежутке [0;4) задается

выражением 4х –х² – 1 и является периодической с периодом 4. Найдите

количество решений уравнения f(х) = g(х) на отрезке [ 3; 10 ].

4 тип задач ( задача с параметром )

Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько ), при которых период функции у = sin (( 2а +5 )х) равен .

Оцените себя по 5-ти бальной системе за каждый тип задач.

Какой тип задач мы еще не научились решать ? (3 тип задач (графически-аналитический метод)).

Этот тип задач мы рассмотрим на уроках повторения, в конце года.

Самое большое 15 баллов. Поставьте баллы в оценочные листы .

б) Определите достигли ли вы поставленной цели урока ( проектор ).

Общее количество баллов за урок – 28 баллов.

«5» - 27 – 28 б.

«4» - 22 – 26 б.

«3» - 17 – 21 б.

Проверим как работал класс и каждый из вас .

На доске появляется запись 27 – 28 б. ( кол-во чел. )

22 – 26 б. ( кол- во чел.)

17 – 21 б. ( кол-во чел. )

Результатом УВМ₁ является эта запись, которая показывает уровень работы

класса на данном уроке, а также уровень работы каждого

из учащегося.

____________________________________________________________________________

УВМ₂ Задача:

ФОПД - индивидуальная самостоятельно определить уровень своих

МО – стимулирование знаний, умений по теме.

учения

Дифференцированное домашнее задание.

Учащиеся выбирают домашнюю работу по количеству набранных баллов.

Разные варианты печатаются на разных цветных листах ( голубые, желтые, зеленые).

Домашняя работа. 1 вариант. ( 17 – 21 балл )

1. Функция f(х) определена на всей числовой прямой и является периодической с

периодом, равным 10. Известно, что f(1) = 1, f(5) = 3 и на отрезке [ 1;5 ] функция

является линейной. Найдите значение функции f(24).

2. Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько), при которых наименьший, положительный период функции

у= sin (( 5a – 13 )x ) равен .

3. Найдите наименьший положительный период функции f(х) = .

Домашняя работа. 2 вариант. ( 22 – 26 баллов )

1. Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько), при которых наименьший, положительный период функции

у= cos (( 2a – 11 )x ) равен .

2. Найдите наименьший положительный период функции f(х) = .

3.Функция f(х) определена на всей числовой прямой и является периодической с

периодом, равным 10. Известно, что f(1) = 1, f(5) = 3 и на отрезке [ 1;5 ] функция

является линейной. Найдите значение функции f(24).

Домашняя работа. 3вариант. ( 27 - 28 баллов )

1. Найдите значение параметра а ( или произведение таких значений, если их

несколько), при которых наименьший, положительный период функции

у= sin (( a² + 6a – 17 )x ) равен .

2. Найдите значение функции f(15), если известно, что функция y= f(х) – нечетная,

имеет период 8 и на отрезке [ 0;4 ] функция имеет вид у= 12х – 3х^2.

3. Функция f(х) определена на всей числовой прямой и является четной и периодической

с периодом 4. На отрезке [ -2;0 ] эта функция задана формулой f(х) = 2 - | 2х + 1|

Найдите количество нулей этой функции на отрезке [-8; 3 ].

Результат УВМ₂ Самостоятельно выбрано домашнее задание.

Итоги урока: основным результатом урока является алгоритм решения нового

типа задач;

результатом урока является также ваша оценка за урок, которая

показывает насколько качественно усвоен учебный материал .