Презентация "Применение производной для исследования функций" по математике – проект, доклад

Применение производной для исследования функций.

1. Нахождение промежутков возрастания функции. 2. Нахождение промежутков убывания функции. 3. Нахождение промежутков постоянства функции. 4. Нахождение экстремумов. 5. Решение уравнений. 6.Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной на отрезке.

Монотонность функции

Убывает на (-;x, x) Возрастает на х1; х2. Постоянна на а;в

у х У=f(x) x1 а в

Исследование функции на возрастание

У Х

Если f '(x) >0 в каждой точке интервала I, то функция f монотонно возрастает на интервале I. АЛГОРИТМ D(f) f '(x) Решить неравенство f '(x)>0 4. Выписать промежутки, где производная имеет знак «+».

у=f(x) х2 х1

Исследование функции на убывание

Если в каждой точке интервала I f '(x)<0, то функция у = f(x) монотонно убывает на этом промежутке. АЛГОРИТМ D(f) f '(x) Решить неравенство f '(()) <0 4. Выписать промежутки , где производная имеет знак «-».

Х 0 х0 У = f(x)

Исследование функции на постоянство

у у = f(x) о х а в

Функция у = f(x) постоянна на интервале (а; в) тогда и только тогда , когда f '(x) = 0 в каждой точке этого интервала.

ЭКСТРЕМУМЫ

Необходимое условие экстремума Если Х0 – точка экстремума функции У = f(x) , то эта точка является критической точкой данной функции, т.е. в этой точке производная либо равна нулю, либо она не существует.

Если f '(x)>0 при х < x0 и f '(x)<0 при х > x0 , то Х0 – точка максимума.

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА Если функция у = f(x) непрерывна в точке Х0 и производная f '(x) меняет знак в этой точке , то Х0 – ТОЧКА ЭКСТРЕМУМА функции у = f (x)

Если f '(x)<0 при х0 при x>Х0 , то Х0 – точка минимума.

f '(x)>0 f '(x)=0 f '(x)<0 Х мах Х min f '- НЕ СУЩЕСТВУЕТ Хмах У ?

СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ИНТЕРВАЛОВ МОНОТОННОСТИ И ЭКСТРЕМУМОВ

Характер изменения функции

- 2 3 + -

А с и м п т о т ы

Прямая у = кх +в называется асимптотой графика функции у = f(x) , если расстояние от точки М графика функции до прямой у = кх + в стремиться к нулю при бесконечном удалении точки М.

Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у = f(x), если lim f(x) = ∞ х→ а Прямая у = в является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(x), если lim f(x)=b х→∞ Прямая у = кх + в является наклонной асимптотой графика функции у = f(x), если lim f(x) =к х →∞ х lim ( f(x)─kx ) = b Х→∞

У у = в У= f(x) Х = а М. .М 0 Х . М у = кх + в y=f(x)

СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ЕЁ ГРАФИКА.

НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ПЕРИОДИЧНОСТЬ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ С ОСЯМИ КООРДИНАТ И ИНТЕРВАЛОВ, ГДЕ ФУНКЦИЯ СОХРАНЯЕТ ЗНАК. НАХОЖДЕНИЕ АСИМПТОТ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИИ. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА.

Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке.

Функция, непрерывная на отрезке, достигает своего наибольшего и наименьшего значений на этом отрезке либо в критических точках, принадлежащих отрезку, либо на его концах.

f(b) у =f(x) f(a) f(xmin) 0 а Хmin в х Хmax maх f(x) = f (xmax) [a;b] min f(x) = f (xmin) [a;b]

0 а Хmax в х min f(x)=f(b) [a;b] max f(x)=f(xmax) у [а;b]

0 а Хmin Хmax b х maxf(x)=f(a) [а;b] minf(x)=f(b) [a;b]

f(xmax) f(b) f(a) f(xmin)

۩ Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке

ЭТАПЫ Найти производную Найти на данном отрезке критические точки, т.е. точки, в которых f’(x)=0 или не существует Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

пример для функции у = 2x³-3x²-36x+5 на отрезке [0;4] f ' (x)=6x²-6x-36 f '(x)=0 при х = -2 и при х = 3. Отрезку [0;4] принадлежит только одна критическая точка: х = 3. 3. f (0)=5; f (3)=-76; f (4)=-59 4. max f(x)=f(0)=5; min f(x)=f(3)=-76 [0;4] [0;4]