Презентация "Виды функций" по математике – проект, доклад

Функции. Теория пределов.

План

Величины постоянные и переменные Понятие функции: определение функции область определения, значения сложная функция способы задания функции Основные элементарные функции, их свойства, графики Непрерывность функции. Предел функции Бесконечно малые и бесконечно большие величины Основные теоремы о пределах Методы раскрытия неопределенностей

I. Величины постоянные и переменные

При изучении закономерностей, встречающихся в природе, все время приходится иметь дело с величинами постоянными и величинами переменными. Def1: Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Def2: Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Обозначение: переменная величина: x, y, z, v, u… постоянная величина: a, b, c… Def3: Множество всех числовых значений переменной величины называется областью изменения этой величины

Часто будем рассматривать случай, когда известна и область изменения Х, и порядок, в котором она принимает свои числовые значения. В этом случае будем говорить об упорядоченной переменной величине.

# 1) числовая последовательность 2) Арифметическая и геометрическая прогрессии Рассмотрим числовую бесконечную последовательность:

Def1: Если при , то говорят, что a – есть предел переменной величины

II. Понятие функции 1. Определение функции

Изучая какое-нибудь явление, мы обычно имеем дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что значения одних величин полностью определяют значение других. Пусть D и E – непустые числовые множества, а х и у – соответственно их элементы. Если каждому ставиться в соответствии по некоторому закону только одно значение , то говорят, что между переменными х и у существует функциональная зависимость и называют х независимой переменной (v-аргументом), а у – зависимой переменной (v-функцией)

Символическая запись функции:

Def: Областью определения D функции называется множество значений х, для которых функция определена (имеет смысл) Def: Множеством значений Е функции называются все значения, которые принимает зависимая переменная Функция f отображает множество D на множестве Е . Для функций f и g, заданных на одном и том же множестве D, можно определить их сумму, разность, произведение и частное. Это новые функции: Где в случае частного предполагается, что на D.

2. Область определения, значения

Def: Если функция f отображает множество D на множестве E, а функция F отображает множество E на множестве G, то функция z=F(f(x)) называется функцией от функций f и F (или сложной функцией). Она определена на множестве D и отображает D на G.

3. Сложная функция

4. Способы задания функции

Аналитический способ – это способ задания функций при помощи формул. Например: у=2х; у=х+1; у=lgx. Если уравнение, с помощью которого задана функция, не разрешено относительно у, то функция называется неявной. Например: 2х+3у-5=0 – уравнение неявно задающее функцию. у=(5-2х)/3 Функция задана не одной, а несколькими переменными. Например:

Табличный способ – это способ задания функции при помощи таблицы. Примерами такого задания являются таблицы логарифмов и т.п. Недостатком табличного способа является то, что функция задается не для всех значений аргумента. Графический способ – это способ задания функции при помощи графика. Графиком функции у=f(x) называется множество точек (х; у) плоскости (Х0У) координаты которых связаны соотношением у=f(x). Само равенство у=f(x) называется Уравнением это графика

III. Основные элементарные функции, их свойства, графики

1. Целая рациональная функция Многочлен вида y=a0+a1x+a2х2+…amxm -целая рациональная функция. Пример: y=kx+b – линейная функция. Её график – прямая линия. При b=0 линейная функция y=kx выражает прямо пропорциональную зависимость у от х. Дробно-рациональная функция Эта функция определяется как отношение двух многочленов: Пример: у=k/x – обратно пропорциональная зависимость между х и у. Её график – равносторонняя гипербола. 3. Степенная функция y=xa, где Пример1 : Пример2 :

4. Показательная функция y=aх, а>0 и а≠1

5. Логарифмическая функция y=logax, а>0 и а≠0

6. Тригонометрические функции y=cosx; y=sinx; y=tgx; y=ctgx

Переменная x обычно выражается в радианах.

7. Обратные тригонометрические функци y=arсsin x; -π/2≤у≤π/2, -1≤х≤1; y=arсcos x |х|≤1, 0≤у≤π; y=arсtg x |у|

Def: Окрестностью данной точки Х0 называется произвольный интервал (a; b), содержащий внутри себя эту точку.

Часто рассматривают - окрестность точки Х0, когда эта точка является центром окрестности.

В этом случае число называется радиусом окрестности

Непрерывность и предел функции

Предел функции

Понятие предела является одним из важнейших понятий, лежащих в основе математического анализа. Каждая операция математического анализа связана с соответствующим предельным переходом. Def: Число А называется пределом функции y=f(x) при стремлении х к а (или в точке а), если для любого числа ε>0 существует такое число δ= δ(ε) >0, что для всех х, удовлетворяющих условию 0

Непрерывность функции

Если при постепенном изменении аргумента функция также изменяется постепенно, то говорят, что функция непрерывна. При этом малому изменению аргумента соответствует малое изменение функции. Дадим строгое определение: Def: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму эту точку) и предел функции в точке х0 существует и равен значению функции в самой этой точке, т.е.

Def: Функция называется бесконечно малой при x→a, если Def: Функция называется бесконечно большой при x→a, если

Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Основные теоремы о пределах

Теорема 1: Для того, чтобы число А было пределом функции f(x) при , необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представлена в виде , где - бесконечно малая.

Следствие 1: Функция не может в одной точке иметь 2 различных предела.

Теорема 2: Предел постоянной величины равен самой постоянной.

Теорема 3: Если функция для всех x в некоторой окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a, и в точке a имеет предел , то

Теорема 4: Если функция f1(x) и f2(x) имеют приделы при , то при , имеет пределы также их сумма f1(x)+f2(x), произведение f1(x)·f2(x), и при условии частное f1(x)/f2(x), причем

Следствие 2: Если функция f(x) имеет предел при , то

Следствие 3: Постоянный множитель можно выносить за

где n – натуральное число.

знак предела

Методы раскрытия неопределенностей 1. Неопределенность вида

Методы: Разложение числителя и знаменателя на множители с последующим сокращением. Устранение иррациональных разностей. Домножение на сопряженное. Первый замечательный предел.

2. Неопределенность вида

Метод: Деление на наибольшую степень Th: Предел отношения двух многочленов (при условии, что аргумент стремится к ∞) равен пределу отношения их старших членов.

Примеры: