Презентация "Метод интервалов" по математике – проект, доклад

Метод интервалов х 7 2 чёт

Перешивкина А. Ю. Учитель математики ГБОУ школа №494 г. Санкт – Петербурга 2012

А Л Г Е Б Р А 8 К Л А С С

Корни многочлена делят числовую ось на промежутки, на каждом из которых функция сохраняет свой знак без изменения - либо везде положителен, либо отрицателен.

у 0

Исследуем линейную функцию: у = kx + b

k > 0 k < 0 ЭТО ВАЖНО!

При переходе через корень функция сменила свой знак на противоположный, и знак крайнего правого промежутка совпадает со знаком старшего коэффициента.

х0

Исследуем квадратичную функцию: у = аx2 + bх+с

a > 0, D > 0 a < 0, D > 0 a > 0 a < 0 х1 х2

a > 0, D = 0 a < 0, D = 0

При переходе через корень функции свой знак не поменяла, знак старшего коэффициента совпадает со знаком крайнего правого промежутка.

a > 0, D < 0 a < 0, D < 0

Функция сохраняет свой знак на всей числовой оси.

Выводы:

1) если корень функции встречается нечетное число раз, то при переходе через него функция меняет свой знак на противоположный; - если корень встречается четное число раз, то при переходе через него функция свой знак сохраняет;

2) если корней нет, то функция сохраняет свой знак на всей числовой оси;

3)знак на любом из промежутков можно определить методом подстановки;

4) знак справа от большего корня совпадает со знаком старшего коэффициента многочлена.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов:

привести неравенство к сравнению многочлена с нулем;

найти корни многочлена, для дробно – рациональных неравенств корни числителя и знаменателя находят отдельно;

нанести корни на числовую ось (если неравенство строгое, то корни на числовой оси «выкалываем;» корни знаменателя «выкалываем» всегда, т. к. на нуль делить нельзя);

определить знак на одном из промежутков;

расставить знаки на всех остальных промежутках;

записать ответ в соответствии со знаком неравенства.

Методом интервалов решают неравенства с нулем в правой части: f(x) > 0; f(x) > 0.

g(x)

Решение неравенств

- 1 №1. x2 – 3х – 4 ≥ 0 4

Неравенство готово для решение методом интервалов, т. к. в правой части находится нуль. Находим корни.

Корни : x2 – 3х – 4 = 0

х1 + х2 = 3 х1 х2 = - 4 х1 = 4 х2 = - 1 ≥ 0 а =1> 0

Ответ: (- ∞ ; -1] U [4; +∞)

№2. – x2 + 6х – 8 > 0

Корни : - x2 + 6х - 8 = 0 | x (-1) x2 - 6х + 8 = 0

х1 + х2 = 6 х1 х2 = 8 х1 = 2 х2 = 4 > 0 а = -1 < 0 Ответ: (2;4)

№3. 3x2 ≤ 1 Корни : 3x2 - 1 = 0 3х2 = 1 х2 = 1 х = ± 1 а = 3 > 0 Ответ: 3x2 - 1≤ 0 ≤ 0 3 √3

1 №4. x2 – 2х + 1 > 0 Корни : x2 – 2х +1 = 0 (х – 1)2 = 0 х = 1 (2 раза)

Ответ: (- ∞ ; 1) U (1; +∞)

№5. х2 - 2х + 1 ≥ 0 Ответ: (- ∞;+∞) №6. х2 - 2х + 1 < 0 Ответ: Ø №7. х2 - 2х + 1 ≤ 0 Ответ: 1

№8. (x – 3)18 > 0 Корни : x - 3 = 0 х = 3 (18 раз) 18 четная степень

Ответ: (- ∞ ; 3) U (3; +∞)

Обращаем внимание на знак перед старшим коэффициентом и на четность – нечетность степени.

5 №9. (5 – х)5 ≥ 0 Корни : 5 - х = 0 х = 5 (5 раз) нечетная степень Ответ: (- ∞ ; 5] а = -1< 0

№10. (1 - 3x)50 ≤ 0 Корни : 1 - 3x = 0 х = (50 раз) 50 а =- 3 < 0

№11. (x – 1)(х – 2)(3 – х) ≥ 0

Корни : 1 ; 2 ; 3 Ответ: (- ∞ ; 1] U [2;3]

Знак произведения отрицательный.

а1 =1> 0 а2 =1> 0 а3 = -1< 0

№12. (x2 – 1)(х2 + 4x – 5) ≤ 0

±1 ; -5 ; 1 Ответ: [ - 5; 1] U{1}

Знак произведения положительный.

-5 -1 1 1

6 №13. Корни числителя : ± 2 Ответ: [ - 2; 2) U (2; 6)

Знак дроби отрицательный.

а1< 0 а2 > 0 -2 4 – x2 x2 - 8х +12

Корни знаменателя :

2; 6 2 2

(корни знаменателя «выкалываем» всегда)

№14.

± 1 (2 раза); 2 (3 раза); 3 (4 раза)

(1 – x)2 (2 – х)3(3 – х)4

x2 – 4 ±2 Ответ: (- ∞ ; 2) U {1;3}

№15. x < 1

Ответ: (- ∞ ; 0) U ( 1; +∞)

- 1< 0 1- x < 0

Используемая литература. Сайт учителя математики Савченко Елены Михайловны http://le-savchen.ucoz.ru/load/14-1-0-188; Дидактические материалы по алгебре для 8 класса /В.И.Жохов, Ю.Н. Макарычев, Н.Д. Миндюк. – М.:Просвещение Дробно-рациональные неравества /А.Х.Шахмейстер. – СПб.: «ЧеРо- на –Неве». Задачи и материалы с курсов повышения квалификации в Санкт – Петербургском государственном университете повышения педагогического мастерства по программе: «Стандарты математического образования». Курс: «Уравнения и неравенства» Зорина Н. А.