Презентация "Дифференцирование функций комплексного переменного" по математике – проект, доклад

Лекция №3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ПЛАН 1. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условие Коши-Римана. 2. Аналитическая функция. Дифференциал. 3. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном изображении. .

1. Дифференцирование функции комплексного переменного. Пусть однозначная функция ?=?(?)определена в некоторой окрестности точки ?, включая и саму точку. Тогда предел lim ∆?→0 ∆? ∆? = lim ∆?→0 ? ?+∆? −?(?) ∆? =?′(?) если он существует, называется производной функции?(?)в точке ?, а функция ?(?)называется дифференцируемой в точке ?. Заметим, что ∆? любым образом стремится к нулю, т.е. точка?+∆? может приближаться к? по любому из бесконечного множества различных направлений.

Из дифференцируемости функции ?(?)в некоторой точке ? следует ее непрерывность в этой точке (отношение ∆? ∆? при ∆?→0 может стремиться к конечному пределу ?′(?) лишь при условии, что ∆?→0). Обратное утверждение не имеет смысла. При каких условиях функция ?=?(?)будет дифференцируемой в данной точке? Теорема.Если функция ?=? ?;? +??(?;?)определена в некоторой окрестности точки ?=??+??, причем в этой точке действительные функции ? ?;? и ?(?;?)дифференцируемы, то для дифференцируемости функции?=?(?) в точке ?необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись равенства ?? ?? = ?? ?? , ?? ?? =− ?? ?? Эти равенства называются Условиями Коши-Римана (или Эйлера-Даламбера).

Необходимость Пусть функция?(?) дифференцируема в точке?, тогда lim ∆?→0 ∆? ∆? = lim ∆?→0 ? ?+∆? −?(?) ∆? =?′(?) существует и не зависит от пути, по которому∆?=∆?+?∆?→0. Можно считать, что точка ?+∆?приближаться кточке ? по прямой, параллельной действительной оси (оси Ох), т.е. ∆?=∆?→0, ∆?=0. Тогда ? ′ ? == lim ∆?→0 ? ?+∆?;? +?? ?+∆?;? − ? ?;? +?? ?;? ∆? = =lim ∆?→0 ? ?+∆?;? −? ?;? +? ? ?+∆?;? −? ?;? ∆? = =lim ∆?→0 ∆ ? ?+? ∆ ? ? ∆? = lim ∆?→0 ∆ ? ? ∆? + ? lim ∆?→0 ∆ ? ? ∆? = ?? ?? +? ?? ?? .

Если же точка ?+∆?приближаться кточке ? по прямой, параллельной мнимой оси (оси Оy), т.е. ∆?=∆?→0, ∆?=0. Тогда ? ′ ? == lim ∆?→0 ? ?;?+∆? +?? ?;?+∆? − ? ?;? +?? ?;? ?∆? = =lim ∆?→0 ∆ ? ?+? ∆ ? ? ?∆? = −? ?? ?? + ?? ?? = ?? ?? −? ?? ?? . Сравнив найденные пределы, получим ?? ?? +? ?? ?? = ?? ?? −? ?? ?? = ? ′ ? . Отсюда следует: ?? ?? = ?? ?? , ?? ?? =− ?? ?? .

Достаточность. Пусть теперь условия Коши-Римана выполняются. Докажем, что функция?(?) дифференцируема. Так как функции ? ?;? и ?(?;?)дифференцируемы вточке ?=?+??, то их приращения можно представить в виде ∆?= ?? ?? ∆?+ ?? ?? ∆?+ ? 1, ∆?= ?? ?? ∆?+ ?? ?? ∆?+ ? 2, где ? 1 и ? 2 - бесконечно малые более высокого порядка. Чем ∆? = (∆?) 2 + (∆?) 2 .Тогда ∆? ∆? = ? ?+∆?;?+∆? +?? ?+∆?;?+∆? −(? ?;? +?? ?;? ) ∆?+?∆? = ∆?+?∆? ∆?+?∆? = = ?? ?? ∆?+ ?? ?? ∆?+ ? 1 +? ?? ?? ∆?+ ?? ?? ∆?+ ? 2 ∆?+?∆? = ?? ?? ∆?+ ?? ?? ∆?+? ?? ?? ∆?+? ?? ?? ∆? ∆?+?∆? + + ? 1 + ? 2 ∆?+?∆? . Заменяя в числителе ?? ?? на − ?? ?? , ?? ?? на ?? ?? , получим

∆? ∆? = ?? ?? ∆?− ?? ?? ∆?+? ?? ?? ∆?+? ?? ?? ∆? ∆?+?∆? + ? 3 , где ? 3 = ? 1 + ?? 2 ∆?+?∆? . Т.е. ∆? ∆? = ?? ?? ∆?+?∆? +? ?? ?? (∆?+?∆?) ∆?+?∆? + ? 3 = ?? ?? +? ?? ?? + ? 3 , а ? 3 - бесконечно малая высшего порядка относительно ∆? . Отсюда следует, что lim ∆?→0 ∆? ∆? =?′(?)существует. При этом ?′(?)= ?? ?? +? ?? ?? ч.т.д. С учетом условий Коши-Римана производную дифференцируемой функции?(?)можно находить по формулам: ? ′ ? = ?? ?? +? ?? ?? , ? ′ ? = ?? ?? +? ?? ?? , ? ′ ? = ?? ?? −? ?? ?? , ? ′ ? = ?? ?? −? ?? ?? .

Правила дифференцирования функций действительного переменного справедливы и для функций комплексного переменного, дифференцируемых в точке?. 2. Аналитическая функция. Дифференциал. Фундаментальным понятием в ТФКП является понятие аналитической функции. Однозначная функция ?(?)называетсяаналитической в точке z, если она дифференцируема (выполнены условия Коши-Римана) в некоторой окрестности этой точки. Функция называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке ?∈?. Точки плоскости ?, в которыходнозначная функция ?(?)аналитична, называются правильными точками? ? .Точки, в которых функция ?(?)не является аналитической, называются особыми точками функции.

Пусть функция ?(?)аналитична в точке z. Тогда lim ∆?→0 ∆? ∆? =?′(?) . Отсюда следует, что ∆? ∆? = ? ′ ? +?, где ?→0 при∆?→0. Тогда приращение функции можно записать так ∆?= ? ′ ? ∆?+?∆?. Если ? ′ ? ≠0, то первое слагаемое ? ′ ? ∆? является при ∆?→0 бесконечно малой того же порядка, что и ∆?; второе слагаемое ?∆? есть бесконечно малая более высокого порядка, чем∆?. Следовательно, первое слагаемое составляет главную часть приращения функции?=? ? .Дифференциалом d? аналитической функции ?=? ? в точке ? называется главная часть её приращения, т.е. d?= ? ′ ? ∆?, или d?= ? ′ ? ??. Замечание. Если функция ? ? =? ?;? +??(?;?)аналитична в некоторой области D, то функции? ?;? и ?(?;?)удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа ? ? ? ?? ? + ? ? ? ?? ? =?. Функции u иv являются гармоническими функциями.

Пример. Проверить, является ли функция ?= ? 2 аналитической. Найти её производную. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном изображении Пусть функция ω=?(?)аналитичнав точке ? 0 и ? ′ ? 0 ≠0 Функция ω=?(?)отображает точку ? 0 плоскости ? в точку ? 0 =?( ? 0 ) плоскости ω. Пусть произвольная точка ?= ? 0 +∆?из окрестности точки ? 0 перемещается к точке ? 0 по некоторой непрерывной кривой l. Тогда в плоскости ω соответствующая точка ω= ? 0 +∆?будет перемещаться к точке ? 0 по некоторой кривой L, являющейся отображением кривой lв плоскости ω. По определению производной ? ′ ? 0 =lim ∆?→0 ∆? ∆? . Отсюда следует, что ? ′ ? 0 = lim ∆?→0 ∆? ∆? = lim ∆?→0 ∆? ∆? = lim ∆?→0 ∆? ∆? .

Величина ∆? = ?− ? 0 представляет собой расстояние между точками ? 0 и ? 0 +∆?, а ∆? - расстояние между точками ? 0 и ? 0 +∆?. Следовательно, ? ′ ? 0 есть предел отношения бесконечно малого расстояния между отображенными точками ? 0 и ? 0 +∆? к бесконечно малому расстоянию между точками ? 0 и ? 0 +∆?. Этот предел не зависит от выбора кривой l, проходящей через точку ? 0 . Следовательно, предел lim ∆?→0 ∆? ∆? = ? ′ ? 0 в точке ? 0 постоянен, т.е. одинаков во всех направлениях. Геометрический смысл модуля производной: величина ? ′ ? 0 определяет коэффициент растяжения (подобия) в точке ? 0 при отображении ω=? ? . Величину ? ′ ? 0 называют коэффициентом растяжения, если ? ′ ? 0 >1, или коэффициентом сжатия, если ? ′ ? 0

Для аргумента производной в точке ? 0 имеем: arg ? ′ ( ? 0 ) = lim ∆?→0 arg ∆? ∆? = lim ∆?→0 ( arg∆?−arg∆?) = lim ∆?→0 arg ∆?− − lim ∆?→0 arg∆? = ? 2 − ? 1 ,где ? 1 и ? 2 - углы, которые образуют касательные к кривым l иLсоответственно в точках ? 0 и ? 0 с положительными направлениями действительных осей на плоскостях ? и ω. Отсюда ? 2 = ? 1 + arg ?′ ? 0 . Это означает, что arg ?′ ? 0 - это угол, на который нужно повернуть касательную к кривой lв точке ? 0 , для того, чтобы получить направление касательной к кривой Lв точке ? 0 . Геометрический смысл аргумента производной: arg ? ′ ( ? 0 ) - это угол между отображенным и первоначальным направлениями касательных к кривым l иLв точках ? 0 и ? 0 соответственно.

В силу аналитичности функции ?(?)в точке ? 0 угол arg ? ′ ( ? 0 ) один и тот же для всех кривых, проходящих через точку ? 0 . Для другой пары кривых ? 1 и ? 1 в тех же точках ? 0 и ? 0 будем иметь arg ? ′ ( ? 0 ) = ?′ 2 − ?′ 1 =?. Таким образом arg ? ′ ( ? 0 ) = ? 2 − ? 1 =?′ 2 − ?′ 1 , т.е. если кривые ? и ? 1 образуют в точке ? 0 на плоскости ?угол ? =arg ? ′ ( ? 0 ) , то такой же угол ? =arg ? ′ ( ? 0 ) будут образовывать точке ? 0 кривые ?и ? 1 , являющиеся отображениями кривых ? и ? 1 на плоскости ?. Это свойство отображенияω=?(?)называют свойством сохранения (консерватизма) углов в точке ? 0 . Отображение ω=?(?), обладающее свойством сохранения углов и постоянством растяжений в точке ? 0 , называется конформным (т.е. отображением, сохраняющим форму).