Презентация "Применение производной к исследованию функций" по математике – проект, доклад

Применение производной к исследованию функций 2 курс

Теория без практики мертва или бесплодна, практика без теории невозможна или пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх всего того, и умение. А.Н. Крылов (Русский советский математик, кораблестроитель, академик )

Математическим выражением взаимной связи реальных величин является идея функциональной зависимости. Понятие функции – важнейшее понятие математики. Слово «функция» (от латинского «Functio» - исполнение обязанностей, деятельность) впервые ввел немецкий ученый Г. Лейбниц.

Исследование функции:

D(f) E(f) промежутки возрастантия и убывания четность и т.п…

Четность, нечетность функций Периодичность Нули функции Промежутки знакопостоянства Монотонность функции

Повторение далее

Четность функций

Определение: Функция y = f(x) называется четной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение (–x) также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = f(x)

четная функция определена на множестве, симметричном относительно начала координат. График четной функции симметричен относительно оси ординат

у х 0

f(-x0) O y = f(x)

Нечетность функций

Определение: Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение (–x) также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = -f(x) График нечетной функции симметричен относительно начала координат

повторение

Определение: Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое число T  0, что для любого значения x, взятого из области определения, значения x + T и x – T также принадлежат области определения и выполняется равенство f(x) = f(x + T) = f(x – T)

y 1 2 4 3 -1 T

Периодичность функций

х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

Нули функции

Определение: Нулем функции называется такое действительное значение x, при котором значение функции равно нулю. Для того, чтобы найти нули функции, следует решить уравнение f(x) = 0 Действительные корни этого уравнения являются нулями функции y = f(x)

Нули функции представляют собой абсциссы точек, в которых график этой функции либо пересекает ось абсцисс, либо касается ее, либо имеет общую точку с этой осью, ординаты данных точек нулевые

Промежутки знакопостоянства

Определение: Числовые промежутки, на которых непрерывная функция сохраняет свой знак и не обращается в нуль, называются промежутками знакопостоянства. Над этими промежутками график функции лежит выше оси абсцисс, если f(x) > 0, и ниже оси абсцисс, если f(x) < 0

Монотонность функции

Определение: Функцию называют монотонно возрастающей, если с увеличением аргумента значение функции увеличивается, и монотонно убывающей, если с увеличением аргумента значение функции уменьшается.

Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительна, то функция на этом промежутке возрастает, т.е.f’(x)>0, f(x) Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка отрицательна, то функция на этом промежутке убывает, т.е.f’(x)<0, f(x) Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка равна 0, то функция на этом промежутке постоянна

Связь производной с монотонностью функции

f’(x)>0 f’(x)<0 К кас = tg = f ’ (xo)

Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует

Критические точки функции -

(4: 1/2)

f’(xi)=kкас =0, касат II OX, перегиб графика, смена поведения

Нет производной

критические точки

Достаточный признак возрастания или убывания функции

Пример: Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x)=х3 -3х2 +2 Решение: 1) f ’(x)=(x3-3x2+2)’=3х2-6х=3х(х-2) 2)Находим критичекие точки: f’(x)=0, т.е. 3х(х-2)=0 при х=0 х=2 3) Исследуем знак производной методом интервалов Ответ: f (x) на (-; 0) (2;) f (x) на (0;2)

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ

Точка х0 называется точкой максимума (xmax ) функции f(x), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство

Окрестностью точки х0 - называется промежуток, для которого точка х0 является внутренней.

Точка х1 называется точкой минимума (xmin ) функции f(x), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство

Точки минимума и максимума называются точками экстремума (крайние, конечные) Значения функции в точках х0 и х1 называются соответственно максимумом и минимумом функции (ymin и ymax)

Максимум и минимум функции называется экстремумом функции

max min

Точки экстремумов хі

Обратите внимание!!!

Что происходит с производной при переходе через экстремальную точку? Что происходит с самой функцией при переходе через экстремальную точку?

удачи в изучении ))