Презентация "Алгебра функций" – проект, доклад

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС

«Алгебра функций» Выполнила: Винник Н.А.- учитель математики 435 школы

Конспект занятия. Учитель Винник Надежда Анатольевна Предмет: Элективный курс по математике «Алгебра функций» Тип занятия: занятие-практикум Тема занятия:«Построение графиков композиции функций». Цель занятия: Расширение знаний о функциях и их графиках на примере суперпозиции (композиции) функций. Задачи: а) Закрепление знаний о понятии функции и операций композиции функций; б) построение графиков композиции функций; в) воспитание у учащихся культуры работы с чертёжными инструментами и аккуратности в выполнении построений, воспитывать волю и настойчивость для достижения конечного результата. Перечень ТСО: персональный компьютер, видеопроектор, экран, CD с учебным материалом, карточки с заданиями. Структура занятия: - мотивационная беседа (организационный момент и постановка цели и задач занятия); - входной контроль: а) Понятие функции. Задание 1: Определить какие графики соответствуют графикам функций. Задание 2: Указать какой график может соответствовать данной ситуации. б) Понятие суперпозиции функций. в) Способы преобразований графиков функций. Задание 3: Определить какие преобразования необходимо совершить с графиком у = f(x), чтобы построить график функции у = f(|x|); у = |f(x)|; у = f(x) + а; у = f(x + а); у = f(kx); у = k·f(x); у = f(-x). - практическая часть: выполнение индивидуальных заданий на карточках с последующей проверкой. -подведение итогов и постановка домашнего задания; - рефлексия (самооценка и суждения учащихся о работе класса, своей деятельности на уроке).

Понятие Функции f(х) x2 x1 xn y1 y2 yn D(f) E(f) y=f(x)

Пусть D и Е – непустые числовые множества, а Х и У – соответственно их элементы. Если каждому Х є D (Х принадлежит множеству D) ставится, в соответствии с некоторым законом, только одно значение У є Е, то говорят, что между переменными Х и У существует функциональная зависимость, и Х называют независимой переменной (или аргументом), а У – зависимой переменной ( или функцией). Термин «функция» ввёл в математику Готфрид Лейбниц (1646-1716 гг.)- он употреблял его, связывая только с геометрическими образами. В развитие понятия функции внесли свой вклад Исаак Ньютон (1643-1727 гг.), Леонард Эйлер (1707-1783 гг.), Ж.-Б. Фурье (1768-1830гг.), Н.И. Лобачевский (1792-1856гг.), Дирихле (1805-1859гг.)

Определите какие графики соответствуют графикам функций

Укажите какой график может соответствовать данной ситуации

На голове человека растут волосы, которые тот регулярно стрижёт, когда они достигнут какой-то определённой длины (всегда одной и той же). Покажите, какой график может соответствовать зависимости длины У определённого волоса от времени Х, прошедшего после одной из стрижек.

Конус погружают в воду вниз вершиной. Как зависит У – масса вытесненной воды – от величины Х, выражающей глубину погружения? Найдите соответствующий график.

Конус погружают в воду вниз основанием. Найдите график, который может выражать зависимость У (масса вытесненной воды) от Х (глубина погружения).

Через каждый час рабочего времени на склад сдают всегда одно и то же число изготовленных за этот час деталей (Х - время работы, У – количество деталей на складе). Каким из графиков может выражаться зависимость У от Х?

У гражданина есть деньги, которые он тратит на покупки. Найдите график, соответствующий зависимости количества денег У, которыми располагает гражданин, от количества времени, потраченного на покупки.

Яблоко растёт, затем его срывают и сушат. На весь этот процесс уходит Х дней. Найдите график, описывающий зависимость массы яблока У от Х.

Преобразование графиков функций. Симметричное отображение относительно оси Оу.

y = f(x) - график исходной функции

y = f(|x|)

часть графика при х > 0 сохраняется, она же симметрично отображается относительно оси Оу

х у 0 y = f(x)

y = 2f(x)

Преобразование графиков функций. Растяжение вдоль оси Оу

y = f(x) график исходной функции

y = kf(x)

растяжение вдоль оси Оу в k раз если k > 1 (на рисунке k = 2)

2 -2 -1 1

y = 1/2f(x)

Преобразование графиков функций. Сжатие вдоль оси Оу

сжатие вдоль оси Оу в 1/k раз если k < 1 (на рисунке k = 1/2)

1/2 -1/2

y = f(1/2х)

Преобразование графиков функций. Растяжение вдоль оси Ох

y = f(kx)

растяжение вдоль оси Ох в 1/k раз если k < 1 (на рисунке k = 1/2)

y = f(2х)

Преобразование графиков функций. Сжатие вдоль оси Ох

сжатие вдоль оси Ох в k раз если k > 1 (на рисунке k = 2)

Композиция функций

g(f(х)) f(х2) f(х1) f(хn) P1 (x) P2(x) Pn(x) D(P(x)) P(x)=(f o g)(x)=g(f(x)) E(P(x))

Композиция (суперпозиция или сложная функция)

Определение: Пусть даны две функции у=g(x) и y=f(x), их композицией называют функцию P(x)=(f o g)(x)=g(f(x)), при условии Д(f)∩E(g)≠Ø g(x)-внешняя функция f(x)- внутренняя функция В функцию g(x) надо вместо х подставить функциюf(x) Композиция не коммутативна (g o f) ≠ (f o g)

Внешняя функция y=g(x) – это g(x)=log2|x| Внутренняя функция у=f(x) – это f(x)=x²-1 Внешняя функция y=g(x) - это g(x)=log|х|2 Внутренняя функция у=f(x) - это f(x)=x²-1

-3 у =(х +2)2 –3

Задание: построить график композиции функций

Дано: f(x)=x+2 и g(x)=x²-3 Построить: (f o g)(x)=g(f(x))

Ответ:

Дано: f(x)=x-2 и g(x)=√x+2 Построить: (f o g)(x)=g(f(x))

у =(х –3)3 – 4 3 -4

Дано: f(x)=x-3 и g(x)=x³-4 Построить: (f o g)(x)=g(f(x))

у =(х –3)³ – 4 х³

Дано: f(x)=x+3 и g(x)=1/x-2 Построить: (f o g)(x)=g(f(x))

y = x2 – 4 y = |x2 – 4|

Дано: f(x)=x²-4 и g(x)=|x| Построить: (f o g)(x)=g(f(x))

y = |x² – 4|

у = (х –2)2 –1 у = |(х –2)2 –1| у = |х2 – 1| у = |х2 – 1|– 3 у = ||х2 – 1|– 3|

Дано: f(x)=(x-2)² и g(x)=|x-1| Построить: (f o g)(x)=g(f(x))

Дано: f(x)=|х²-1| и g(x)=|х-3| Построить: (f o g)(x)=g(f(x))

у = |(х –2)² –1| у = ||х² – 1|– 3|

y = (x-1)2 y = (|x|-1)2

Дано: f(x)=|х|-1 и g(x)=х² Построить: (f o g)(x)=g(f(x))

Дано: f(x)=|х|-1 и g(x)=√x Построить: (f o g)(x)=g(f(x))

y = (|x|-1)²

y = x2 y = 2(x+2)2 y = (x+2)2 y = 0,5(x-1)2 y = -0,5(x-1)2

Дано: f(x)=х-1 и g(x)=-0,5х² Построить: (f o g)(x)=g(f(x))

Дано: f(x)=х+2 и g(x)=2х² Построить: (f o g)(x)=g(f(x))

y = -0,5(x-1)² y = 2(x+2)²

Домашнее задание №1

Пофантазируйте! Какие реальные ситуации могут описывать функции, графики которых изображены на рисунках. Укажите для каждой функции, что соответствует независимой переменной Х, а что соответствует зависимой переменной У.

Домашнее задание №2

Составьте композицию из двух функций и постройте её график

Как вы оцениваете свою работу на уроке? Какие задания оказались для вас трудными? Какие задания показались вам лёгкими? Что бы вы хотели пожелать, в том числе и предложения по разработке последующих занятий?

До свидания! Всем спасибо!

На складе было 50 тонн угля. Ежедневно на склад поступало 10 тонн. Даны графики описывающие зависимость количества р (в тоннах) угля от времени t (в сутках). По каждому графику составьте рассказ о том, что происходило с углем. Как он поступал на склад, в каком количестве? Расходовался ли?

Задание