» » » Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные

Презентация на тему Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные


Презентацию на тему Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные можно скачать абсолютно бесплатно на нашем сайте. Предмет презентации : Математика. Красочные слайды и илюстрации помогут вам заинтересовать своих одноклассников или аудиторию. Для просмотра содержимого презентации воспользуйтесь плеером, или если вы хотите скачать презентацию - нажмите на соответствующий текст под плеером. Презентация содержит 23 слайда.

Слайды презентации

Слайд 1: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 1

Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные

Автор: Жагалкович Полина Сергеевна Учебное заведение: МОУ Лицей№1 г.Комсомольск-на-Амуре Адрес автора: Хабаровский край, с.п. «Село Хурба» ул.Добровольского, ДОС 2-10 Руководитель: Будлянская Наталья Леонидовна

Слайд 2: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 2

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)

Слайд 3: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 3

Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств.

Пример 1. Доказать что для любого хϵR Доказательство. 1 способ. 2 способ. для квадратичной функции что означает её положительность при любом действительном х.

для хϵR для хϵR т. к.
Слайд 4: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 4

для любых действительных х и у

Пример 2. Доказать, что для любых x и y Доказательство. Пример 3. Доказать, что Доказательство. Пример 4. Доказать, что для любых a и b Доказательство.

Слайд 5: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 5

2. Метод от противного

Вот хороший пример применения данного метода. Доказать, что для a, b ϵ R. Доказательство. Предположим, что . Но ,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.

Слайд 6: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 6

Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство Доказательство. Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В и С, так как будем иметь следующее отношения: , что является обоснованием исходного неравенства.

Слайд 7: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 7

Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В и С. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.

Слайд 8: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 8

Использование свойств квадратного трехчлена

Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена , если и . Пример 6. Доказать, что Доказательство. Пусть , a=2, 2>0 =>

Слайд 9: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 9

Пример 7. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х: , а>0, D<0 D= => P(x)>0 и верно при любых действительных значениях х и у.

Слайд 10: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 10

Пример 8. Доказать, что для любых действительных значениях х и у. Доказательство. Пусть , Это означает, что для любых действительных у и неравенство выполняется при любых действительных х и у.

Слайд 11: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 11

Метод введения новых переменных или метод подстановки

Пример 9. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для , , . Получаем исследуемое неравенство

Слайд 12: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 12
для аϵR

Использование свойств функций.

Пример 10. Докажем неравенство для любых а и b. Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ( )* ( )>0, что доказывает неравенство

Слайд 13: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 13

Пример 11. Докажем, что для любых Доказательство. на R. Если , то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>

Слайд 14: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 14

Применение метода математической индукции

Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12. Доказать, что для любого nϵN Проверим истинность утверждения при - (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)

Слайд 15: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 15
*3

3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и : , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.

Слайд 16: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 16

Использование замечательных неравенств

Теорема о средних (неравенство Коши) Неравенство Коши – Буняковского Неравенство Бернулли Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.

Слайд 17: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 17

Применение теоремы о средних (неравенства Коши)

Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:

Слайд 18: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 18

Пусть n=2, , , тогда Пусть n=2, a>0, тогда Пусть n=3, , , , тогда Пример 13. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство Доказательство.

Слайд 19: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 19

Неравенство Коши - Буняковского

Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых ; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим

Слайд 20: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 20

Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство Доказательство. Запишем исследуемое неравенство в следующем виде: Это заведомо истинное неравенство, так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского. Пример 15. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство Доказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.  

Слайд 21: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 21

Неравенство Бернулли

Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных значений n выполняется неравенство Неравенство может применяться для выражений вида Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.

Слайд 22: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 22

Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ N Доказательство. Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения , получим требуемое неравенство. Пример 17. Доказать, что для любых n ϵ N Доказательство. по теореме Бернулли, что и требовалось.

Слайд 23: Презентация Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Слайд 23

Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. "А, такой-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.


Другие презентации по математике



  • Яндекс.Метрика
  • Рейтинг@Mail.ru