Презентация "Алгебра и геометрия" (11 класс) – проект, доклад

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

(учебная дисциплина) Составители доценты кафедры математики и моделирования ВГУЭС Шуман Галина Ивановна Волгина Ольга Алексеевна

Комплексные числа

׳

Содержание

§ 1. Основные понятия § 2. Геометрическое изображение комплексных чисел § 3. Формы записи комплексных чисел § 4. Действия над комплексными числами

§ 1. Основные понятия

Величина ?, определяемая условием ? ? =−1, называется мнимой единицей. Число вида ?=?+??, где ?и ? –действительные числа, называется комплексным числом. Число ? называется действительной частью комплексного числа ? и обозначается ?=???, а ? – мнимой частью ?, ?=???.

Если ?=0, то число ?=?? называется чисто мнимым, если ?=0, то число ?=?отождествляется с действительным числом ?, а это означает, что множество ? всех действительных чисел является подмножеством множества ? всех комплексных чисел, то есть ?⊂?.

Два комплексных числа ? 1 = ? 1 + ? 1 ? и ? 2 = ? 2 + ? 2 ? называются равными (? 1 = ? 2 ), если соответственно равны их действительные и мнимые части: ? 1 = ? 2 , ? 1 = ? 2 . Комплексное число −?=−?−?? называется противоположным комплексному числу ?=?+??.

Комплексное число ?−??называется сопряженным с комплексным числом?=?+?? и обозначается ? . Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

§ 2. Геометрическое изображение

Комплексные числа удобно изображать точками?(?;?) на комплексной плоскости. На оси Ох расположены действительные числа, на оси Оу – мнимые числа; ось Ох называется действительной осью, ось Оу – мнимой осью.

Комплексное число ?=?+?? можно задавать с помощью радиус-вектора ? = ?? . Длина вектора ? , изображающего комплексное число ?, называется модулем этого числа и обозначается ? или ?. ? = ? ? + ? ? .

х у О М ? ?

Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором ? , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается ??? ? или ?. Аргумент комплексного числа ?=0 не определен.

??? ?= arg ?+2??, ?=0, ±1,±2,…, где arg ? - главное значение аргумента, заключенное в промежутке (−?; ? , то есть −?< arg ?≤? (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку 0;2?)).

§ 3. Формы записи комплексных чисел

Запись числа ?=?+?? называется алгебраической формой комплексного числа. Из рисунка видно, что ?=? cos ?, ?= ?sin ? , ???= ? ? . Следовательно, ?=? cos ?+?? sin ? или ?=?( ??? ?+ ??? ?) - тригонометрическая форма записи комплексного числа.

????= ????? ? ? для внутренних точек ?,?? четвертей, ????? ? ? +? для внутренних точек ?? четверти, ????? ? ? −? для внутренних точек ??? четверти

§ 4. Действия над комплексными числами

Суммой двух комплексных чисел ? 1 = ? 1 +? ? 1 и ? 2 = ? 2 +? ? 2 называется комплексное число, определяемое равенством ? ? + ? ? = ? ? + ? ? +? ? ? + ? ? . Разностью двух комплексных чисел ? 1 и ? 2 называется комплексное число, определяемое равенством ? ? − ? ? = ? ? − ? ? +? ? ? − ? ? .

Произведением двух комплексных чисел ? 1 и ? 2 называется комплексное число, определяемое равенством ? ? ? ? = ? ? ? ? − ? ? ? ? +? ? ? ? ? + ? ? ? ? . Частным двух комплексных чисел ? 1 и ? 2 называется комплексное число, определяемое равенством ? ? ? ? = ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? +? ? ? ? ? − ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? .