Презентация "Применения производной к исследованию функций" по математике – проект, доклад

Применения производной к исследованию функций

Оглавление

Схема исследования функций; Признак возрастания (убывания) функции: Достаточный признак возрастания функции; Достаточный признак убывания функции; Критические точки функции: Необходимое условие экстремума; Признак максимума функции; Признак минимума функции.

Схема исследования функций

Найти области определения и значений данной функции f. Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование. Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат. Найти промежутки знакопостоянства функции f. Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает. Найти точки и вид экстремума и вычислить значения f в этих точках. Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения.

Признак возрастания (убывания) функции

Достаточный признак возрастания функции. Если f´ (x) > 0 в каждой точке интервала I, то функция возрастает на I. Достаточный признак убывания функции. Если f´ (х)

Доказательство признака возрастания (убывания) функции

Доказательство проводится на основании формулы Лагранжа: f´

Пример нахождения промежутков возрастания (убывания) функции

Дано: f (x) = -2x + sin x

Найти: промежутки возрастания (убывания) функции

Решение Функция определена на всей числовой прямой. Найдем f´ (x). f´ (x) = -2 + cos x. | cos x | ≤ 1 => f´ (x)

Критические точки функции, максимумы и минимумы

Необходимое условие экстремума (теорема Ферма)

Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f´, то она равна нулю: f´(х0) = 0

Теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума. Из того, что производная в точке х0 обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум.

Примеры критических точек, в которых производная не существует

Признак максимума функции

Если функция f непрерывна в точке х0, а f´ (х) > 0 на интервале (а; х0) и f´ (х)

Признак минимума функции

Если функция f непрерывна в точке х0, f´ (х) 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f. Упрощённая формулировка признака: Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка максимума.

Пример нахождения точек экстремума функции

Дано: f (x) = 3x – x3

Найти: Точки экстремума функции

Решение Найдём производную функции: f´ (x) = 3 – 3х2 f´ (x) = 0, при х = 1 и х = -1 f´ (x) 0 при -1

Проект выполняла Сергеева Вероника, ученица 11 класса, с использованием следующих материалов:

Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы.