Презентация "Элементы теоретического программирования" по информатике – проект, доклад

Элементы теоретического программирования

Машина Тьюринга – математическое понятие алгоритма

Каждой паре вида (si, qi), где siА и qiQ\{q0}, соответствует тройка (sj, t, qj), где sjA, tT и qjQ (q0 не участвует в парах (si, qi), так как паре (si, q0) уже ничего не соответствует, машина останавливается в заключительном состоянии q0).

Множество всех пар вида (si, qi), где siA и qiQ\{q0}, называется произведением множеств А и Q\{q0) и обозначается АQ\{q0). Аналогично, множество всех троек вида (sj, t, qj), где sjA, tT и qjQ, называется произведением множеств А, Т и Q и обозначается АТQ

Таким образом, программа машины Тьюринга представляет собой функцию с областью определения АQ\{q0}, принимающую значения из множества АТQ, или отображение первого множества во второе: АQ\{q0}ATQ

Машиной Тьюринга (МТ) называется система вида (A, s0, Q, q1, q0, T, ), где А  конечное множество  алфавит МТ, s0A и называется пустой буквой алфавита, Q  конечное множество, элементы которого называются состояниями МТ (Q  множество состояний МТ), q1Q, q1  начальное состояние МТ, q0Q, q0  пассивное или заключительное состояние МТ, Т={Л, Н, П}  множество сдвигов МТ,  :АQ\{q0}ATQ,   программа МТ.

Машина Тьюринга перерабатывает слова в алфавите машины согласно программе этой машины.

Какую бы МТ, имеющую алфавит A={s0, s1, ..., sk}, состояния q0, q1, ..., qp и программу , мы ни взяли, можем считать, что имеется алгоритм, исходными объектами, промежуточными и окончательными результатами которого являются слова в алфавите А. Предписанием, задающим этот алгоритм, является программа .

Другими словами, с математической точки зрения МТ — это алгоритм для переработки слов в алфавите этой машины (ради удобства отождествляем МТ с ее программой).

Массовость алгоритма. Множество исходных данных для алгоритма — множество всевозможных слов в алфавите А машины. Это множество бесконечно, его элементы записываются на ленте машины.

Результативность алгоритма. Алгоритм по любому исходному данному позволяет в конечное число шагов получить результат. Программа МТ применяется единообразно ко всевозможным исходным данным и не меняется в процессе работы машины над исходным словом. Программа описывает переход от одного состояния к другому. Некоторое состояние опознается как заключительное. Появившееся при этом на ленте слово в алфавите А является результатом переработки слова, записанного на ленте в начальном состоянии машины.

Конструктивность объектов. Исходные объекты, промежуточные и окончательные результаты для МТ — слова в алфавите А машины. Такие объекты являются конструктивными.

Детерминированность (определенность) алгоритма. Программа  составлена таким образом, что ее исполнение однозначно осуществимо. Действительно, программа  — это совокупность команд вида siqjsmTqp, причем любые две различные команды не содержат одинаковых левых частей. При этом условии система команд не может требовать двух или более различных действий в одно и то же время.

Детерминированность (определенность) алгоритма. Свойство детерминированности означает также, что применение программы  к одному и тому же слову в алфавите А приводит к одному и тому же результату с одной и той же последовательностью состояний ленты.

Конечность предписания, задающего алгоритм. Программа  представляет собой конечное предписание, причем процесс вычислений протекает только согласно программе и исходным данным, ничего более не используется.

Нельзя ли задавать посредством МТ и другие известные нам алгоритмы, задаваемые обычно с помощью предписаний. Другими словами, насколько «богат» класс МТ? Быть может он включает все алгоритмы?

Тезис Тьюринга: Всякий алгоритм может быть задан посредством МТ

В тезисе Тьюринга речь идет, с одной стороны, о понятии алгоритма, которое не является точным математическим понятием; с другой стороны, о точном математическом понятии — МТ. Значение этого тезиса и заключается в том, что он уточняет понятие алгоритма через математическое понятие — машину Тьюринга

Классы задач не имеющих разрешающего алгоритма

Существует ли алгоритм, позволяющий по произвольному уравнению с целыми коэффициентами выяснить, имеет оно целочисленное решение или нет?

Существует ли алгоритм, позволяющий по любому ассоциативному исчислению выяснить, разрешима в нем проблема эквивалентности слов или нет?

Машина Тьюринга ~ Нормальный алгоритм Маркова

Класс алгоритмов в форме машин Тьюринга и класс нормальных алгоритмов совпадают, эти алгоритмы равносильны.

Иными словами, для каждого алгоритма из класса машин Тьюринга существует равносильный ему алгоритм в классе нормальных алгоритмов, и наоборот.

В этом смысле две математические теории алгоритмов: теория нормальных алгоритмов и теория машин Тьюринга, считаются эквивалентными (равносильными).