- Решение тригонометрических уравнений

Конспект урока «Решение тригонометрических уравнений» по алгебре для 11 класса

Разработка темы

«Решение тригонометрических уравнений»

в итоговом повторении в 11 классе,

при подготовке к экзаменам.


Цель уроков:

  • Повторить и систематизировать раннее изученный материал по решению простейших тригонометрических уравнений.

  • Повторить методы решения уравнений.

  • Решить сложные уравнения , встречающиеся на ЕГЭ.

  • Проверить усвоение материала.


1 урок: «Повторение теоретического материала и решение простейших уравнений» (используя компьютерную презентацию).

2-3 уроки: «Семинар по решению одного уравнения несколькими способами».

4-5 уроки: Решение более сложных уравнений, предложенными способами.

6 урок: Контрольное тестирование по теме, с использованием компьютерной программы.






















Урок №1: «Повторение теоретического материала и решение простейших уравнений»


Цель:

  1. Повторить и систематизировать раннее изученный материал по решению простейших тригонометрических уравнений.

  2. Решение уравнений, с выбором ответов.

  3. Воспитывать умение применять полученные знания.


Ход урока:

  1. Решение уравнений вида .

  2. Решение уравнений вида

  3. Решение уравнений вида и

  4. Итог урока.


Решение сложных уравнений сводится к решению простейших уравнений:

.

и

Вспомним, как они решаются.


  1. Решение простейших тригонометрических уравнений вида:


.


где



Частные случаи:


Решить уравнения:

Ответ: .


Ответ: .


Ответ: .


Решите самостоятельно и найдите правильный ответ(найти соответствие):

№ уравнения

Уравнение

№ ответа

Ответ

1

a

2

b

3

c

4

d

5

e


2.Решение простейших тригонометрических уравнений вида:

, где



если , то













Частные случаи:




Решить уравнения:

1.

Ответ: .


2.

Ответ: .


3.

Ответ: .



Решите самостоятельно и найдите правильный ответ (найти соответствие):

№ уравнения

Уравнение

№ ответа

Ответ

a

b

корней нет

c

d

e


3.Решение простейших тригонометрических уравнений вида:


















Решить уравнения:


1.

Ответ: .


2.

Ответ: .


3.

Ответ: .


Решите самостоятельно и найдите правильный ответ (найти соответствие)

№ уравнения

Уравнение

№ ответа

Ответ

a

b

c

d



Решение простейшего тригонометрического уравнения вида:




решение аналогичное предыдущему случаю.


4.Итог урока:

Сегодня на уроке мы повторили решение простейших тригонометрических уравнений. На следующем уроке будем повторять методы решения тригонометрических уравнений, для этого класс разбивается на 7 небольших групп, каждая из которых покажет выбранный метод решения уравнения:

.

Можно обращаться за консультацией.


Дома повторить пункты № 9,11, учебник под редакцией А.Н.Колмогорова, стр. 93-106, учебник под редакцией А.Г.Мордковича.


Уроки №2-3: «Семинар по решению одного уравнения несколькими способами»


Класс делится на небольшие группы по 2-3 человека, заранее они получают задания по одному из методов решения уравнений, а затем на уроке показывают своё решение. Остальные учащиеся записывают решение и задают интересующие их вопросы, на которые отвечает данная группа.


ЦЕЛИ УРОКА:

  1. систематизировать знания учащихся по теме;

  2. показать различные методы решения тригонометрического уравнения на примере одного уравнения;

  3. воспитание у учащихся культуры мышления;

  4. формирование умений строить логическую цепочку рассуждений;

  5. показать красоту решения уравнений.


ПЛАН УРОКА:

  1. Решение тригонометрических уравнений различными способами;

    1. Используя формул половинного угла;

    2. Используя формулы приведения

    3. Приведение к однородному квадратному уравнению;

    4. Введение вспомогательного угла;

    5. Используя формулы понижение степени;

    6. Используя универсальные подстановки;

    7. Решение уравнения возведением в квадрат;

  2. Итог урока.


ХОД УРОКА :

1. Постановка целей урока и конечного результата (каждая группа объясняет свое решение, используя кодоскоп, отвечает на возникшие вопросы).


1.

Используя формул половинного угла.

;

;

;

; или разделим на ;

, ; ;

, . , ;

, .

Ответ: , ; , .


2.

Используя формулы приведения

;

из суммы делаем произведение

;

;

;

;

;

, ;

, ;

, ; , ;

, . , .

Ответ: , ; , .


3.

Приведение к однородному квадратному уравнению.

;

;

;

; (верно при любых )

;

; или ;

; , .

, .

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: , ; , .


4.

введение вспомогательного угла

;

;

;

;

, ;

, ;

если , то

, ;

, ;

если , то

, ;

, ;

, .

Второй способ:

разделим на :

;

;

;

, ;

, или , .

Ответ: , ; , .


5.

Используя формулы понижение степени:

;

Проверка ОДЗ: ;

;

;

.

Возведем уравнение в квадрат:

, умножим на 2;

;

;

;

;

; или ;

, ; , ;

, ; , .

Если -нечетное, , то ;

-1=1 – неверно .

Если -нечетное, , то ;

;

-1=1 – неверно.

Если k – чётное, , то ,

следовательно ,

1=1 верно

если n – чётное, ,то ,

следовательно ,

1=1 верно.

Ответ: , ; , .


6.

Используя универсальные подстановки:

; ; , при .

Применение этой подстановки требует большой осторожности! Следует проверить, а не является ли серия корней , корнями данного уравнения (иначе будет потеря корней). Это делается путем подстановки в первоначальное уравнение.

;

Если , , то ;

;

;

– неверно.

Следовательно , не является корнем уравнения.

Выполним подстановку:

, пусть ;

;

;

;

; или ;

; ;

, ; , ;

, . , .

Ответ: , ; , .


7.

Решим уравнение возведением в квадрат. Надо быть аккуратными – могут появиться лишние корни.

;

;

;

;

;

, ;

, .

Проверка корней:

Если ; ;

;

1=1 – верно;

; ;

;

1=1 – верно;

; ;

;

-1=1 – неверно;

; ;

-1=1 – неверно;

Ответ: , ; , .


ИТОГ УРОКА:

  • Сегодня на уроке мы с вами решили одно уравнение семью способами и это ещё не предел методов решения. При решении уравнений вы можете использовать один из предложенных способов, самое главное каждое уравнение имеет решение и его надо найти!

  • оценивается работа каждого учащегося, подчеркивается самостоятельность, грамотность при выполнении заданий, взаимопомощь, активность.


ЗАДАНИЕ НА ДОМ:

Решите уравнение всеми предложенными способами и попытайтесь найти ещё хотя бы один другой способ решения.


Уроки №4-5: «Решение более сложных уравнений, предложенными способами»


ЦЕЛИ УРОКА:

  1. обобщить полученные знания;

  2. научить нахождению чужих ошибок и не делать своих;

  3. показать красоту решения тригонометрических уравнений.


ПЛАН УРОКА:

  1. Разбор ошибок (с использованием кодоскопа);

  2. Решение тригонометрических уравнений различными способами;

    1. Решение уравнений разложением на множители;

    2. Решение с помощью замены переменных;

    3. Решение однородных уравнений;

    4. Решение уравнений методом преобразования суммы или разности тригонометрических выражений в произведения;

    5. Преобразование произведения в сумму;

    6. Введение вспомогательного угла;

    7. Решение линейных уравнений;

    8. Уравнения, решающие оценкой значений левой и правой частей;

    9. Комбинированные уравнения из заданий ЕГЭ.

  3. Итог урока.


1.   Разбор ошибок (с использованием кодоскопа)

1.   sinx=0.5

x=(-1)narcsin0.5+2n,

x=(-1)n + ,.


2.   cos3x=0.5

3x=arccos0.5+2n, ,

3x= +2 n, ,

x= .


3.   sin4x=2

4sinx=2,

sinx=0.5,

x=(-1)narcsin0.5+ n, ,

x=(-1)n+ .


4.   tg2x=5

2x=arctg5+ n, ,

x=arctg2.5+ n, .


2.   Решение тригонометрических уравнений различными способами.

1.   Решение уравнений разложением на множители:

а)   sin2x-cosx=0,

2sinx cosx cos x=0,

cosx(2sin x – 1 =0,

2sin x-1 =0 или cos x =0

sinx=0.5 x=+ k, .

x=(-1)n+ n, .

Ответ: (-1)n+ n, , + k, .

Для домашней работы: sinx+cosx=sinxcosx + 1


2.   Решение с помощью замены переменных:

а)   6cos 2x+5sinx-7=0,

6(1-sin 2x)+5sinx-7=0,

6-6sin 2x +5sinx-7=0, sinx=t, ItI 1,

6t2 -5t+1=0,

t= t=

sinx=или sinx =0.5

x=(-1)narcsin + n, x=(-1)k + k,

Ответ: (-1)narcsin + n, , (-1)k + k,


Для домашней работы: 1) cos 2x + cosx – 2=0;

2) tg 2x – 3tgx + =0.

б)   sin 4x+cos 4x – 2sin2x + sin 22x=0,

прибавим и вычтем 2sin2x·cos2x для выделения полного квадрата

(sin2x + cos 2x)2- 0.5(4sin2 xcos2x) + sin22x - 2sin2x = 0,

1- sin22x – 2sin2x + sin22x=0,

sin2 2x – 2sin2x + 1 =0, sin2x = t, -1t1

t2 – 8t + 4 = 0,

D=64- 16 = 48 , D>0, 2 корня

t = 4- 2,

t = 4 +2, (не удовлетворяет условию -1t1)

sin2x = 4-2 ,

2x = (-1)k arcsin(4-2 ) + k,

x = (-1)karcsin(4 - 2)+ k, .

Ответ: (-1)karcsin(4 - 2)+ k, .


3.   Решение однородных уравнений

asin x +bcosx = 0

asin 2x + bcosxsinx + c cos 2x = 0

Метод: разделив обе части уравнения на sinx( sin 2x) или на cosx(cos 2x) отличных от нуля, иначе не выполняется основное тригонометрическое тождество, получим уравнение линейное или квадратное относительно новой переменной:

atgx + b = 0, a tg 2x + btgx + c =0


Решим уравнение:

6sin 2x + sinx cosx – cos 2x = 2,

6sin 2x + sinx cosx – cos 2x -2 sin 2x – 2 cos 2x =0,

4sin 2x + sinxcosx -3cos 2x = 0 /Разделим на cosx, cosx отличен от нуля

4tg 2x + tgx – 3 =0

tgx=t,

4t2 + t -3=0,

t= -1, t =

tgx = -1, tgx=

x= - + Пn, . x = arctg + Пk, .

Ответ: - + Пn, , arctg + Пk, .


Для домашней работы: sin 5x +cos5x = 0,

3sin 2x – 2sinx cosx – cos 2x = 0.


4.   Решение уравнений методом преобразования суммы или разности тригонометрических выражений в произведения

Необходимо действовать по принципу: «увидел сумму, делай произведение»

cos3x + sin2x – sin4x =0,

cos3x + 2 cossin = 0,

cos3x- 2 cos3x sinx = 0,

cos3x (1 – 2sinx) = 0,

cos3x = 0 sinx = 0.5

3x = + П n, , x= (-1)k+ Пk, .

x=+ n,

первая серия корней содержит полностью вторую серию корней, следовательно

Ответ: + k, .


5.   Преобразование произведения в сумму:

sin5x cos3x = sin6xcos2x,

0.5(sin2x + sin8x) = 0.5(sin8x + sin4x),

sin2x + sin8x =sin8x + sin4x,

sin2x – sin4x = 0,

-2 sinx cos3x =0,

sinx = 0 cos3x = 0

x = П n, 3x = +П k, ,

x = k, .

Ответ: П n, , k, .


6.   Введение вспомогательного угла:

(a,b,c отличные от нуля)

; .


Решим следующее уравнение

разделим на (так как )

,

, , .

,

,

, ,

, .

Ответ:

Для домашней работы: 1),

2)

3).


7.   Решение линейных уравнений:

1 способ:

Используя универсальную подстановку:, , , но применение этой подстановки требует большой осторожности! Следует проверить, не является ли корнем данного уравнения ( иначе будет потеря корня). Это делается путем подстановки данной серии корней в первоначальное уравнение.

Подставим и убедимся, что это корень уравнения

,

0-1= -1,

- 1= -1(верно).

пусть

2 способ решения этого уравнения:

sinx+cosx= -1,

если

если

Ответ:


8.   Уравнения, решающие оценкой значений левой и правой частей:

а)   2sin3x+4cosx=7

Следовательно:

Мы доказали, что данная сумма не должна превосходить 6, а по условию она равна 7, значит уравнение не имеет решения.


б)   3cos3x+cosx=4,

,

то равенство возможно, если имеет решение система:

,

подставим во второе уравнений значение переменной первого уравнения:

, получили верное равенство, следовательно , является решением системы уравнений.

Ответ:


9. Комбинированные уравнения из заданий ЕГЭ

Чаще всего при решении уравнения используется несколько способов, например С1 из ЕГЭ 2002г.

D

Ответ: .

Домашнее задание:


Задание В3 из ЕГЭ 2003:

Найти сколько корней имеет уравнение:

Домашнее задание:


Решить уравнение: ЕГЭ-2006:


Домашнее задание:


Задание С2 из демоверсии 2007 года:


Домашнее задание:





Итог урока

Сегодня на уроке мы повторили и разобрали различные способы решения тригонометрических уравнений.

Домашнее задание было выдано в течение урока, а так же вам необходимо подготовиться к контрольному тесту по данной теме, который будете сдавать на компьютерах.

Каждый отвечающий получил оценку.


Урок №6: Контрольное тестирование по теме, с использованием компьютерной программы.


Тест по теме «Тригонометрические уравнения». Для запуска программы выполните следующие действия:

  1. На диске CD-ROM открыть папку «ТРИГОНОМ_УРАВНЕНИЯ»

  2. Запустить программу trigon.exe

  3. В появившемся окне выбрать нужный вариант.



  1. Решить предложенное уравнение и выбрать вариант ответа. Нажав на кнопку соответствующую варианту ответа, произойдет переход к следующему заданию. Всего заданий для каждого варианта семь.


  1. После выполнения всех заданий компьютерная программа выдаст результат на экран. Программа ставит следующие оценки:

«ОТЛИЧНО» – при всех правильных ответах;

«ХОРОШО» – при одном неверном ответе;

«УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО» – при двух неверных ответах;

«НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО» – при трех и более неверных ответах;



  1. Для выхода из программы нажмите кнопку «Выход».




Здесь представлен конспект к уроку на тему «Решение тригонометрических уравнений», который Вы можете бесплатно скачать на нашем сайте. Предмет конспекта: Алгебра (11 класс). Также здесь Вы можете найти дополнительные учебные материалы и презентации по данной теме, используя которые, Вы сможете еще больше заинтересовать аудиторию и преподнести еще больше полезной информации.

Список похожих конспектов

Решение тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений

Государственное учреждение «Аулиекольская школа-гимназия им.С.Баймагамбетова отдела образования Аулиекольского района». Конспект урока ...
Решение тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. . МО г. Нягань. «Средняя общеобразовательная школа №6». РАЗРАБОТКА УРОКА ПО АЛГЕБРЕ ...
Решение тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений

Соломасова Н.И.,. . учитель математики. МБОУСОШ № 59, г. Архангелска,. План – конспект па алгебре и началам анализа в 10 классе. Тема ...
Решение тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений

Разработка урока по математике в 10 классе. Тема: «Решение тригонометрических уравнений». Цель:. . Систематизировать и обобщить знания учащихся. ...
Решение тригонометрических уравнений (простейших)

Решение тригонометрических уравнений (простейших)

Урок 49. Тема урока:. «. Решение тригонометрических уравнений (простейших). ». Предмет:. Алгебра и начала анализа. Тип занятия:. закрепления ...
Решение тригонометрических уравнений и неравенств

Решение тригонометрических уравнений и неравенств

«Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг». Ф. Хаусдорф. Учебник Колмогорова А.Н. «Алгебра и начала анализа», 10-11 класс. Тема ...
Решение однородных тригонометрических уравнений

Решение однородных тригонометрических уравнений

. «Проект деятельностного урока». ===================================================== Выполнила:. Редько Валентина Ивановна, учитель математики ...
Решение простейших и некоторых типов тригонометрических уравнений

Решение простейших и некоторых типов тригонометрических уравнений

План-конспект урока. . Учитель:. Дорофеева Л.И. Предмет:. математика. Класс:. 10 класс. Тема урока: «Решение простейших и некоторых типов ...
Решение простейших тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических уравнений

Тема: Решение простейших тригонометрических уравнений. Цели урока:. 1.Систематизиция и проверка знаний и умений учащихся по данной теме. 2. Развивать ...
Графическое решение квадратных уравнений

Графическое решение квадратных уравнений

Управление образования. администрации Павловского района. Проект урока. Предмет алгебра. класс 8 В. Тема. Графическое решение ...
Квадратные уравнения. Основные понятия. Решение неполных квадратных уравнений

Квадратные уравнения. Основные понятия. Решение неполных квадратных уравнений

Тема:. «Квадратные уравнения. Основные понятия. Решение неполных квадратных уравнений». Тип урока:. урок изучения нового материала. Цели урока:. ...
Решение квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений

. . . Тема:. . Решение квадратных уравнений. . Класс: 8. . Дата:_. _. Тип урока:. . Урок-обобщение. . . . Цель ...
Решение квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений

Конспект урока по алгебре в 8 классе. Тема урока: «Решение квадратных уравнений». Тип урока. : урок обобщения и систематизации знаний. Цель ...
Методы решение показательных уравнений

Методы решение показательных уравнений

Автор: Дементьева Ирина Николаевна. Место работы: МБОУ СОШ №2. с.Кривополянье Чаплыгинского района. Липецкой области. . Должность: учитель ...
Логарифмы и решение логарифмических уравнений

Логарифмы и решение логарифмических уравнений

Ибрагимов Рустем Фаткулкадирович. учитель математики. МБОУ «Русско-татарская общеобразовательная средняя школа №81». Урок алгебры и начала ...
Решение квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений

Урок алгебры с использованием технологии развития критического мышления по теме «Решение квадратных уравнений». Общедидактическая цель:. создание ...
Свойства показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств

Свойства показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств

Открытый урок по теме: «Свойства показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств.». Тип урока:. Обобщение и систематизация ...
Решение квадратных уравнений в среде программирования QBasic 8 класс

Решение квадратных уравнений в среде программирования QBasic 8 класс

Интегрированный урок. Алгебра – информатика. Решение квадратных уравнений в среде программирования QBasic. 8 класс. . Учитель МОУ «СОШ №1 с ...
Решение квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений

Тема урока Решение квадратных уравнений. Цель урока:. . . - знакомство с методом устного решения квадратных уравнений;. - развивать навыки в ...
Решение целых уравнений

Решение целых уравнений

Урок алгебры в 9 классе по теме «Решение целых уравнений». Цель: решение уравнений высоких степеней. Задачи: - рассмотреть различные способы решения ...

Информация о конспекте

Ваша оценка: Оцените конспект по шкале от 1 до 5 баллов
Дата добавления:11 ноября 2016
Категория:Алгебра
Классы:
Поделись с друзьями:
Скачать конспект