Конспект урока «Решение квадратных уравнений» по алгебре для 9 класса

Тема урока Решение квадратных уравнений

Цель урока:

- знакомство с методом устного решения квадратных уравнений;

- развивать навыки в разложении чисел на множители;

- повысить интерес учащихся к математике.

l. Орг. момент.

ll.

1. Вступление. Многие задачи в математике связаны с необходимостью решения квадратных уравнений; часто при решении одной задачи встречаются несколько таких уравнений, поэтому полезно знать метод устного решения квадратных уравнений, который не только помогает экономить время, но и развивает навыки в разложении чисел на множители, что бывает полезным при устных вычислениях громоздких арифметических выражений.

2. Итак, цель нашего урока ….

3. Разминка.

   1. Дайте определение квадратного уравнения.

   2. Дайте определение приведенного квадратного уравнения.

   3. Когда квадратное уравнение имеет:

а) два корня?

б) один корень?

в) не имеет корней?

4. Сформулируйте теорему Виета.

4. Решение приведенных квадратных уравнений

х² + рх + q = 0, а=1

Корни удовлетворяют теореме Виета и имеют вид: х₁·х₂ = q

х₁+х₂ = – р

х² – 2х – 15 =0 х² + 7х + 12 =0

х² + 10х – 24 =0 х² - 9х + 12 =0

х² – 4х – 77 =0

5. Решаем уравнения 1 столбца

Пример 1. х² – 2х – 15 = 0

Решение. Из всех множителей числа 15 (1 и 15, 3 и 5) выбираем те, разность которых равна 2. это числа 3 и 5. перед меньшим числом ставим торой знак уравнения, т.е. «минус». Таким образом, х₁ = - 3, х₂= 5 – корни уравнения.

Отсюда: 1. Если в уравнении последним знаком является «минус», то корни имеют разные знаки, причем знак меньшего корня совпадает со знаком второго коэффициента в уравнении.

Зная, что при сложении чисел с разными знаками их модули вычитаются, заметим, что для нахождения корней приведенного уравнения необходимо выполнить следующие действия:

1) найти такие множители числа q, чтобы их разность была равна числу р;

2) Поставить перед меньшим из найденных чисел второй знак уравнения, другой корень будет иметь противоположный знак.

Пример 2. х² + 10х – 24 = 0

Решение. Так как 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6 и 10 = 12 – 2, то х₁ = 2, х₂= - 12.

Пример 3. х² – 4х – 77 = 0

Решение. Так как 77 = 1 · 77 = 7 · 11 и 4 = 11 – 7, то х₁ = - 7, х₂= 11.

6. 1) Решите самостоятельно уравнения:

а) х² – 5х – 14 = 0; в) х² + х – 56 = 0;

б) х² + 8х – 20 = 0; г) х² – 7х – 8 = 0.

2) Составьте уравнения, корнями которого являются числа:

а) 6 и – 7 ; в) - 1 и 24;

б) 13 и – 9; г) - 5 и 4.

7. Решаем уравнения 2 столбца

Пример 1. х² + 7х + 12 = 0

Решение. Так как 12 = 1 · 12 = 2 · 6 =3 · 4 и 7 = 3 + 4,в уравнении два «плюса», то х₁ = - 3, х₂= - 4.

Пример 2. х² - 9х + 14 = 0

Решение. Так как 14 = 1 ·14 = 2 · 7 и 9 = 2 + 7, то х₁ = 2, х₂= 7.

Отсюда: Если в уравнении последним знаком является «плюс», то оба корня имеют одинаковые знаки, противоположные второму знаку уравнения.

• Если в уравнении два знака «плюс», то оба корня имеют знак «минус»

8. 1) Решите самостоятельно уравнения:

а) х² – 11х + 24 = 0; в) х² – 17х + 30 = 0;

б) х² + 4х + 3 = 0; г) х² + 9х + 14 = 0.

2) Составьте уравнения, корнями которого являются числа:

а) 5 и 7 ; в) 11 и 8;

б) - 1 и – 6; г) - 4 и - 20.

9. Таким образом, к любому приведенному уравнению х² + рх + q = 0 можно применить алгоритм:

1) Найти множители свободного члена, для которых действие, указанное последним знаком уравнения, дает второй коэффициент;

2. Расставить знаки у найденных множителей по следующим правилам:

• если в уравнении два «плюса», то в ответе два «минуса»,

• если последний знак уравнения «минус», то меньшему корню присваивается второй знак уравнения (больший корень имеет противоположный знак).

10. Решение неприведенных квадратных уравнений

ах² + вх + с = 0, (а≠1, а>0)

Корни уравнения имеют вид х₁ = , х₂ = ,

где т и п находятся по следующему правилу:

1. Произведение тп равно произведению ас, а действие, указанное последним знаком уравнения, для чисел т и п дает второй коэффициент в;

2. Знаки т и п определяются следующим образом:

• если в уравнении два «плюса», то т и п отрицательны,

если последний знак уравнения «минус», то меньшему из чисел т и п присваивают второй знак уравнения

11. Решим уравнения

Пример 1. 5х² + 12х + 4 = 0

Решение. Найдем такие два числа, произведение которых равно 5 · 4 = 20, а

сумма равна 12. Это числа 2 и 10.

Поскольку в уравнении два «плюса», искомые числителя дробей отрица-

тельны: - 2 и - 10. Знаменателем дробей является первый коэффициент 5.

Итак, х₁ = - , х₂= - .

Ответ: х₁ = - , х₂= - .

Пример 2. 7х² - 4х - 11= 0

Решение. Найдем числа, произведение которых равно 7 · 11 = 77, а разность

равна 4. Это числа 7 и 11. Меньшее из них должно иметь знак «минус», т.е

искомые числителя дробей равны – 7 и 11, а в знаменателе первый

коэффициент 7. Таким образом, х₁ = - = - 1, х₂= .

Ответ: х₁ = - = - 1, х₂=

lll. Итог урока и рефлексия.

IV. Домашняя работа. Решите уравнения:

1. 3х² – 5х +2 = 0; 7) х² + 2х – 15 = 0;

2. х² + 7х – 30 = 0; 8) 5х² + х – 6 = 0;

3. 4х² + 9х + 2 = 0; 9) х² – 10х +24 = 0;

4. 2х² + 3х + 1 = 0; 10) 5х² + 4х – 9 = 0;

5. 3х² – 20х – 52 = 0; 11) х² + 12х + 35 = 0;

6. 5х² + 9х – 14 = 0; 12) х² – 20х – 300 = 0.