Конспект урока по теме

« Сумма n первых членов геометрической прогрессии»

Составила учитель математики

МБОУ СОШ № 12 города Ульяновска.

Тема урока: «Сумма n первых членов геометрической прогрессии».

Цели урока:

1.  Повторить свойства степени с натуральным и целым показателем; нахождение n-го члена геометрической прогрессии.

2.  Рассмотреть вывод формулы суммы n членов геометрической прогрессии, закрепление темы и проверка полученных знаний учащимися.

3.  Развитие логического мышления и познавательной деятельности учащихся на уроке через применение нестандартных форм его проведения (работа в «группах», элемент игры, спектакль).

Тип урока: комбинированный.

Оборудование и наглядность: компьютер, мультимедийный проектор, презентация к уроку.

Этапы урока:

I Организационный момент

II Актуализация опорных знаний

III Изучение новой темы

IV Закрепление темы

V Итоги урока

VI Домашнее задание

Ход урока:

I Организационный момент.

II Актуализация опорных знаний.

1)  Проверка домашнего задания № 394 (а)

Дано: b6 = 3, q = 3. Найти: b1.

Решение: b6 = b1 q5 Þ b1 = .

2)  Работа по индивидуальным заданиям.

а) 252 : 1252 = (52)2 : (53)2 = 54 : 56 = 5-2 = .

б) .

3)  Устно:

а) Найдите третий член геометрической прогрессии 2; 6; …

б) Является ли данная последовательность 2; 6; 10; … геометрической или арифметической прогрессией? Найдите ее четвертый член и сумму четырех первых членов.

в) Найдите b7 , если b1 = - 32, q = .

г) Между числами и 27 вставьте 4 числа, чтобы они вместе с данными числами образовывали геометрическую прогрессию. Какой эта прогрессия является возрастающей или убывающей?

д) Представьте в виде степени с основанием 2 числа: 8; ; 16; 322.

е) Представьте в виде степени с основанием 3 числа: 9; ; 81; 272.

ж) Представьте в виде степени с основанием 5 числа: 25; ; 125; .

III Изучение новой темы.

Перенесемся в прошлое, а именно в начало нашей эры, в Индию.

Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахмат, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку…

Сценка: участвуют двое учащихся, один играет роль царя Шерама, второй роль Сеты.

Шерам: «Сета, Сета поди ко мне. Я буду с тобой говорить!»

Сета (испуганно): «О, великий царь Шерам, чем прогневал я Вас, что Вы так грозно со мной? О, царь!»

Шерам: «Сета, не казнить желаю, а наградить тебя хочу, чем пожелаешь за твое остроумное изобретение! Я царь, я всемогущ, проси!»

Сета: «О, великий царь, боюсь я, что даже ты не сможешь выполнить мою просьбу. В награду за свое изобретение я прошу столько зерен пшеницы, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить 1 зерно, на вторую в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью опять в 2 раза больше, т. е. 4 зерна и т. д. до 64-й клетки»

Шерам (смеясь): «Какая скромная награда!»

А мудрый Сета только улыбнулся хитро в ответ.

Число зерен, о которых идет речь, является суммой 64 членов геометрической прогрессии, в которой b1 = 1, q = 2. Чему же будет равна сумма?

S = 1 + 2 + 22 + 23 + …. + 262 + 263. Умножим обе части данного равенства на знаменатель q = 2. Получается: 2S = 2 + 22 + 23 + …. + 263 + 264. Найдем разность 2S – S = (2 + 22 + 23 + …. + 263 + 264) – (1 + 2 + 22 + 23 + …. + 262 + 263) = 264 – 1 = 18 446 744 073 709 551 651.

Вот столько зерен пшеницы запросил хитрый Сета. Это больше триллиона тонн, что превосходит количество пшеницы собранной человечеством до настоящего времени или это весь урожай планеты, поверхность которой в 2000 раз больше всей поверхности Земли.

Пользуясь тем же приемом, выведем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Sn = b1 + b2 + … + bn-1 + bn. Умножим на знаменатель q. Получаем:

Snq = b1q+ b2 q+ … + bn-1 q+ bn q = b2 + b3 + … + bn + bn q. Найдем разность: Snq - Sn = bn q - bn q. Отсюда находим Sn = .

Но при решении примеров удобней пользоваться следующей формулой: т. к bn = b1qn-1 , то Sn = , где q ¹ 1/

IV Закрепление темы:

№1 Устно: Найдите сумму 4 первых членов геометрической прогрессии, если b1 = 4, q = . Ответ: S4 = 7.

Работа с учебником: № 408(а) b1 = 8, q = . Найти S5 (Ответ: 15).

Работа в «группах». Учащиеся разбиваются на три команды (по рядам) и выбирают капитана.

Одновременно капитаны на доске решают задания на закрепление изученной темы, а остальные учащиеся решают тест.

Задания капитанам:

Найти сумму шести первых членов геометрической прогрессии

1)  если b1 = 3, b2 = - 6.

2)  если b1 = -32, b2 = - 16.

3)  1; - ; …

Задания тестов: выписать цифру задания и букву правильного ответа. Вариант 1

1.  Последовательность 2; 4; 6; … является

О) убывающий; У) возрастающий.

2.  Последовательность 2; 4; 6; … является

М) арифметической прогрессией; Ц) геометрической прогрессией.

3.  Последовательность 6; 12; 24; … является

Е) арифметической прогрессией; Н)геометрической прогрессией.

4.  1; 2 и т. д. – геометрическая прогрессия. Найдите b3.

Ч) – 2; К) 0; И) 4; Е) 7.

5.  2; 6 … - геометрическая прогрессия. Найдите S4.

Ц) 80; В) 70; А) 60; Д) 50.

6. b1=8, q=1/2. Найдите S5.

А) 1; Б) ; В) 0; Г) - 2 .

Вариант 2

1.  Последовательность 50; 100; 200; … является

О) убывающей; У) возрастающей.

2.  Последовательность 2; 5; 8… является

М) арифметической прогрессией; Ц) геометрической прогрессией.

3.  Последовательность 5; 10; 20; … является

Е) арифметической прогрессией; Н) геометрической прогрессией.

4.  1;4 и т. д. – геометрическая прогрессия. Найдите b3.

Ч) 0; К) – 3; И) 16; Е) 18.

5.  2; 8; … - геометрическая прогрессия. Найдите S3.

Ц) 42; В) 40; А) 5; Д) – 6.

6. b1=8, q=. Найдите S3.

А) 10; Б) 9; В) 18; Г) – 3.

V Итоги урока:

1) Подвести итоги решения теста: правильные ответы дадут слово «умница» и прокомментировать решение заданий капитанов.

2) Подвести итоги соревнования.

VI Домашнее задание: п. 20, № 408 (б), 417.