- Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Конспект урока «Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии» по алгебре для 9 класса


Дата: 24.12.2012 Алгебра 9 рус

Тема урока: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Цели и задачи урока: Научить приёмам комбинирования формул, определений, свойств арифметической и геометрической прогрессий. Научить приёму оформления задач через таблицу.

Развить навыки применения формул, составления уравнений, систем уравнений и методов их решений. Развить математический кругозор, мышление, математическую речь;

Воспитать активную работу на уроке, сознательное отношение к учёбе, интерес к изучению математики, воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию.

План урока.

  1. Организационный момент.

  2. Немного истории.

  3. Теоретический опрос.

  4. Решение задач.

  5. Рефлексия. Ответьте на вопросы сами себе.

  6. Домашнее задание.

Ход урока.

  1. Организационный момент.

  2. Немного истории.

В клинописных табличках вавилонян, в египетских папирусах, относящихся ко 2 тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны и индийским учёным. Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии даётся в «Книге абака» (1202г.) Леонардо Фибоначчи. А общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке «Наука о числах», в 1484 году.

  1. Теоретический опрос.

Задание. Записать номер формулы.

  1. Определение арифметической прогрессии.

  1. Формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии через первый член и последний.

  1. Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

  1. Формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии.

  1. Общую формулу для вычисления разности арифметической прогрессии.

  1. Формулу свойства членов геометрической прогрессии.

  1. Формулу суммы n-первых членов арифм-кой прогрессии через первый член и разность.

  1. Общую формулу для вычисления знаменателя геометрической прогрессии.

  1. Определение геометрической прогрессии.

  1. Формулу n-го члена геометрическую прогрессии.

  1. Формулу свойства членов арифметической прогрессии.

  1. Формулу n-го члена арифметической прогрессии.

  1. an+1 = an + d 7)

  2. 8)

  3. an = a1 + (n – 1)d 9)

  4. 0)

6) 11)

12)

Проверить код ответов ( 1, 6, 12, 11, 2,0.

Расшифровать полученные числа, как день16.12.11. 20-летия Независимости Казахстана.

  1. Решение комбинированных задач.

  1. Даны 4 числа. Первые 3 из них составляют геометрическую

прогрессию со знаменателем 2, а последние 3 - арифметическую прогрессию с

разностью 6. Найти данные числа.

Дано: а, в, с, е – искомые числа. Из них геометр. прогрессия{ а, в, с} и q = 2,

арифмет.прогрессия{ в, с, е} и d = 6.

Найти: а, в, с, е.

Решение:


а

в

с

е

Геометр.

прогрессия

а


аq = 2а

аq2 = 4а

-


Арифмет.

прогрессия

-


в


в + d = в + 6

в + 2d = в + 12

По данным составим таблицу.




По таблице видно, что 2а = в и 4а = в + 6.

Имеем 4а = 2а + 6, 2а = 6, а = 3. Тогда в = 2

Ответ: 3, 6, 12, 18.

  1. Сумма трёх чисел, образующих арифмет. прогрессию, равна 27.

Если от этих чисел отнять соответственно 1; 3; 2, то полученные числа будут

образовывать геометрическую прогрессию. Найти исходные три числа.

Дано: а, в, с – искомые числа, арифмет. прогрессия { а, в, с},

геометр. прогрессия {а – 1, в – 3, с – 1}.

Найти: а, в, с.

Искомые числа

а

в

с

Арифмет.

прогрессия

а


в = а + d


с = а + 2d


Геометр.

прогрессия

а - 1


(а + d) – 3

а + 2d – 2


Решение:

По данным составим таблицу.




  1. По условию сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 27, тогда можно записать: а + а + d + а + 2d = 27, 3а + 3d = 27, а + d = 9 (1).

По данным таблицы получили при решении в = 9, так как в = а + d.

  1. Используем свойство членов геометрической прогрессии. Получим уравнение:

(а + d – 3)2 = (а – 1)(а + 2d – 2), (9 – 3)2 = (а – 1)( а + d + d – 2), 62 = (а – 1)(7 + d) (2)

Составим систему уравнений из уравнений (1) и (2) решим её.

d2d – 20 = 0

По теореме Виета и ей обратной найдём корни полученного уравнения:
Найдём искомые числа: 1) а = 9 – (– 4) = 13, в = 9, с = 9 – 4 = 5.

2) а = 9 – 5 = 4, в = 9, с = 9 + 5 = 14.

Ответ: 13, 9, 4 или 4, 9, 14.

  1. Даны 4 числа, составляющих геометрическую прогрессию. Если от

этих чисел отнять соответственно 10; 11; 9; 1, то полученные числа будут

образовывать арифметическую прогрессию. Найти данные числа.

Дано: а, в, с, е – искомые числа. Из них геометр. прогрессия { а, в, с, е},

арифмет. прогрессия { а – 10, в – 11, с – 9, е – 1}.

Найти: а, в, с, е. Решение: По данным составим таблицу.

Числа

а

в

с

е

Геометр.

прогрессия

а


аq


аq2


аq3


Арифмет.

прогрессия

а – 10


в – 11 = аq – 11


с – 9 = аq2 – 9


е – 1 = аq3 – 1



По таблице используем данные и применим свойство арифметической прогрессии 1) , 2аq – 22 = a + аq2 – 19, аq2 - 2аq + a = – 3,

a(q2 - 2q + 1) = – 3, a(q – 1)2 = – 3 (1).

2) , 2аq2 – 18 = aq + аq3 – 12, аq3 - 2аq2 + aq = – 6,

aq(q2 - 2q + 1) = – 6, aq(q – 1)2 = – 6 (2).

  1. Почленно разделим равенство (2) на равенство (1) = ,

После сокращения дробей получим q = 2.

  1. Найдём значение а из равенства (1) а = – 3.

Вычислим остальные числа: в = – 3 · 2 = – 6, с = – 6 ·2 = – 12, е = – 12 · 2 = –24.

Ответ: – 3, – 6, – 12, – 24.

  1. Даны 3 различных числа, составляющих геометрическую

прогрессию. Необходимо между вторым и третьим членом этой

последовательности вставить число, чтобы получившаяся последовательность

была арифметической прогрессией. Найти знаменатель заданной

геометрической прогрессии.


Дано: а, в, с – искомые числа, геометрическая прогрессия { а, в, с},

арифметическая прогрессия { а, в, х, с}.

Найти: q


Решение: Так как по условию 3 различных числа, составляющих геометрическую прогрессию, то q для арифметической прогрессии d



а

в

х

с

Геометр.

прогрессия

а


аq


-

аq2


Арифмет.

прогрессия

а


а + d


а + 2d


а + 3d


По данным составим таблицу.





По таблице видно, что 1) аq = а + d, d = аq – а, d = а(q – 1) (1)

2 ) аq2 = а + 3d, 3d = аq2 – а , 3 d = а(q2 – 1) (2)

  1. Подставим равенство (1) в равенство (2) 3а(q – 1) = а(q2 – 1).

Разделим полученное равенство на а(q – 1) , получим 3 = q + 1, q = 2. Ответ: 2.

  1. Решить неравенство (3х + 7 + 3 – 1 – …)(2 + 4 + 8 + …+ х) 0, где в скобках по 6 числовых слагаемых.

Решение. 1) Рассмотрим числовые слагаемые первой скобки: 7; 3; - 1;…

Заметим, что 3 – 7 = – 4, – 1 – 3 = – 4 раз другие слагаемые не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и эти 6 слагаемых и они образуют арифметическую прогрессию с d = – 4 и а1 = 7.

По формуле суммы n-первых членов арифметической прогрессии найдём сумму 6 членов:

  1. Рассмотрим числовые слагаемые второй скобки: 2; 4; 8;…

Заметим, что 4 : 2 = 8: 4 = 2 раз не другие слагаемые не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и все 6 слагаемых образуют геометрическую прогрессию с

q = 2 и в1 = 2.

По формуле суммы n-первых членов геометрической прогрессии найдём сумму 6 членов:

  1. Полученные данные подставим в заданное неравенство (3х – 18)(126 + х) 0 и решим его методом интервалов.

Построим чертёж + –– +

– 126 6

Ответ: (-

  1. Решить уравнение х2 – 6│х│ – 21 – 15 – 9 - … = 3 + 2 + 1 + 0,5 + ….. где в левой части уравнения 8 числовых слагаемых.

Решение.

  1. Рассмотрим числовые слагаемые левой части уравнения: - 21; - 15; - 9;…

Заметим, что – 21 – (– 15) = – 15 – (– 9) = 6, раз другие слагаемые не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и эти 8 слагаемых образуют арифметическую прогрессию с d = 6 и а1 = – 21.

По формуле суммы n-первых членов арифмет. прогрессии найдём сумму 8 членов:

  1. Рассмотрим числовые слагаемые правой части уравнения без числа 3: 2; 1; 0,5;…

Заметим, что 1 : 2 = 0,5: 1 = 0,5 раз не другие слагаемые из этой последовательности не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и все слагаемые образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с q = 0,5 и в1 = 2.

По формуле суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии найдём сумму всех членов:

  1. Подставим полученные результаты в уравнение х2 – 6│х│+ 0 = 3 + 4 и решим его.

х2 – 6│х│ = 7, х2 – 6│х│ – 7 = 0. Раскроем модуль по определению.

Если хто уравнение примет вид х2 – 6х – 7 = 0. Найдём его корни по второму свойству коэффициентов квадратного уравнения

Если хто уравнение примет вид х2 + 6х – 7 = 0. Найдём его корни по первому свойству коэффициентов квадратного уравнения

Ответ:

  1. Рефлексия. Ответьте на вопросы сами себе.

  2. Домашнее задание.

  1. Три числа составляют арифметическую прогрессию с разностью равной 4. Если к третье число увеличить на 8, эти три числа будут образовывать геометрическую прогрессию. Найти данные числа. (2, 6, 10)

  2. Даны три числа образующих геометрическую прогрессию, первое из которых равно 8. Если второе число увеличить на 1, то эта последовательность станет арифметической прогрессией. Найти знаменатель геометрической прогрессии.(1,5 или 0,5)

  3. Даны четыре числа. Первые три образуют геометрическую прогрессию, а последние три - арифметическую прогрессию. Сумма первого и последнего чисел равна 32, а сумма средних чисел – 24. Найти данные числа.(32, 16, 8, 0 или 2, 6, 18, 30)


Здесь представлен конспект к уроку на тему «Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии», который Вы можете бесплатно скачать на нашем сайте. Предмет конспекта: Алгебра (9 класс). Также здесь Вы можете найти дополнительные учебные материалы и презентации по данной теме, используя которые, Вы сможете еще больше заинтересовать аудиторию и преподнести еще больше полезной информации.

Список похожих конспектов

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Конспект урока по теме. « Сумма. n. первых членов геометрической прогрессии». Составила учитель математики. МБОУ СОШ № 12 города Ульяновска. ...
Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

. Открытый урок по алгебре в 9 классе. Тема: «Характеристическое свойство геометрической прогрессии». Цели урока. :. Образовательные: ...
Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии

Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии

Схема конспекта урока. Тема. : «Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии». Класс: 9. Тип урока. : урок изучения и первичного ...
Сумма n-первых членов арифметической прогрессии

Сумма n-первых членов арифметической прогрессии

Методическая разработка урока. Катана Марина Евгеньевна. ГБОУ гимназия №107. Выборгского района Санкт-Петербурга. Тема урока: «Сумма n. ...
Сумма первых n-членов арифметической прогрессии

Сумма первых n-членов арифметической прогрессии

Наименование учреждения _ Республика Казахстан, г. Павлодар, ГУ Средняя общеобразовательная школа № 14. ФИО __Солошенко Ирина Владиславовна. Должность ...
Сумма н-первых членов арифметической прогрессии

Сумма н-первых членов арифметической прогрессии

Тема:. Сумма н-первых членов арифметической прогрессии. . . Цели урока. :. . Должны знать: формулу н-го члена арифметической прогрессии, формулы ...
Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Алгебра 9 класс. . Урок на тему "Сумма первых n членов арифметической прогрессии". . Цели урока:. . Обеспечить успешное усвоение и закрепление ...
Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Назиева А.П. учитель математики. МБОУ Петрово-Дальневской СОШ. Красногорского района Московской области. Открытый урок алгебры в 9 классе на тему:. ...
Сумма и разность многочленов

Сумма и разность многочленов

Разработка урока математики в 7-м классе по теме "Сумма и разность многочленов". Цели урока:. Ввести понятие суммы и разности многочленов. ...
Сумма и разность кубов двух выражений

Сумма и разность кубов двух выражений

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. «средняя общеобразовательная школа № 77». города Ижевска. Технологическая карта ...
Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Учитель:Корабельникова Г.А. . . Дата проведения: 30.01.09. . . . Урок алгебры в 9-м классе. . Тема :« Арифметическая и геометрическая прогрессии». ...
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ШКОЛА № 5». ГОРОДА СМОЛЕНСКА. Тема: “ Формула суммы первых. n. ...
Определение арифметической и геометрической прогрессий

Определение арифметической и геометрической прогрессий

Алгебра 9 класс, учитель – Савченко Мария Анатольевна 1 кв.категория. МАОУ «Молчановская СОШ № 2» Молчановского района Томской области. Тема урока: ...
Использование формул арифметической прогрессии при решении прикладных задач

Использование формул арифметической прогрессии при решении прикладных задач

Урок по алгебре. 9 класс. Тема: Использование формул арифметической прогрессии при решении прикладных задач. Цель:. обобщить знания по теме «Арифметическая ...
Арифметическая прогрессия. Формула п-ой арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия. Формула п-ой арифметической прогрессии

Открытый урок. Дата: 27.11. Класс: 9. Предмет: алгебра. Тема урока: Решение задач на тему «Арифметическая прогрессия. Формула п-ой арифметической ...
Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессии

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА Арифметическая и геометрическая прогрессии. . ФИО (полностью). . Науменкова Олеся Анатольевна. . . . Место ...
Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Технологическая карта урока. Учебный предмет: алгебра. Класс: 9. Школа: МБОУ «Большебитаманская» СОШ. Учитель: Мухаметзянова Эльмира Габдулловна. ...
Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Министерство образования и науки Республики Казахстан. Атбасарский районный отдел образования. Акмолинской области. Открытый урок по алгебре ...
Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. « Октябрьская школа-гимназия». Красногвардейского района Республика Крым. ...
Формула n-го члена арифметической прогрессии

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Конспект урока по алгебре в 9 классе Толкуновой С.С. . Число. :. Тема. : Формула n. -го члена арифметической прогрессии. Девиз урока:. . «Образование ...