Конспект урока «Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии» по алгебре для 9 класса

Назиева А.П. учитель математики

МБОУ Петрово-Дальневской СОШ

Красногорского района Московской области.

Открытый урок алгебры в 9 классе на тему:

«Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии».

Форма урока – традиционный.

Цель урока: вывести формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии и научить ее применять при решении упражнений.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашней работы. (Проверка с помощью мультимедийного проектора)

№ 389б

Дано: (x_n) – геометрическая прогрессия, x₁ = - 810; q =

Найти: x₈

Решение: x₈ = x₁q⁷; x₈ = - 810 ∙( )⁷ = - -

Ответ: x₈ = -

№ 391

Дано: 2; -6;… - геометрическая прогрессия

Найти: b₇ и q

Решение: b₇ = b₁q⁶ ; b₁ =2; q = = -3;

b₇ = 2 ∙ (-3)⁶ = 2∙ 729 = 1458

Ответ: b₇ = 1458

№ 404

Дано: (a_n) - арифметическая прогрессия

a₁ = -45,6; a₁₅ = 2

Найти: S_50.

Решение:

1. a₁₅ = a₁+14d 2) S₅₀ = ∙ 50 = (2∙ (-45,6)+49∙3,4)∙25=1885

2 = -45,6 +14d

14d = 47,6

d = 47,6: 14

d =3,4

Ответ: S₅₀ = 1885.

3. Повторить устно:

1. Степени чисел 2 и 3;

2. Свойства степеней с одинаковыми показателями;

3. Формулу n-го члена геометрической прогрессии.

4. Объяснение нового материала.

1. Сообщение ученика из книги Я.И.Перельмана «Живая математика»: «Легенда о шахматной доске» (стр.87-90).

2. Выводим формулу суммы n – первых членов произвольной геометрической прогрессии.(учитель)

Пусть дана геометрическая прогрессия (b_n).

Обозначим сумму n – первых ее членов через S_n.

S_n. = b₁+ b₂+ b₃+…+ b_n-2+ b_n-1+ b_n (1)

Умножим обе части этого равенства на q:

S_n q = b₁ q + b₂ q + b₃ q +…+ b_n-2 q + b_n-1 q ₊ b_n q

Учитывая, что b₁ q= b₂; b₂ q= b₃; b₃ q= b₄; …; b_n-2 q= b_n-1; b_n-1 q= b_n, получим:

S_n q = b₂+ b₃+…+ b_n-2+ b_n-1+ b_n + b_n q (2)

Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведем подобные члены:

S_n q - S_n = (b₂+ b₃+…+ b_n-2+ b_n-1+ b_n + b_n q) – (b₁+ b₂+ b₃+…+ b_n-2+ b_n-1+ b_n) = b_n q- b₁;

S_n q - S_n = b_n q- b₁;

S_n (q – 1) = b_n q- b₁;

Отсюда, при q 1:

S_n =

Получили:

S_n = q 1 - формула суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Если q=1, то все члены геометрической прогрессии равны первому члену и S_n = nb₁.

Мы знаем, что b_n= b₁ q^n-1.

Подставим это в формулу суммы.

S_n = = = = , q 1

Итак, S_n = при q 1 - формула суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Пример1.

Дано: геометрическая прогрессия (b_n).

b₁ = 5; q=

Найти: S_10.

Решение: S₁₀ = .

S₁₀ = = = = - +10 = 10 - = 9.

Ответ: S₁₀ = 9.

Пример2.

Дано: (b_n) - геометрическая прогрессия.

b₃ = 12, b₅ = 48

Найти:S₆

Решение: b₅ = b₁q⁴ = b₃q²; q² = = = 4; q = 2 или q = -2;

Если q = 2, то b₁ = = = 3; S₆ = = = 3∙(64-1) = 189;

Если q = -2, то b₁ = = = 3; S₆ = = = -(64-1) = -63.

Ответ: 189; -63.

5. Физкультминутка. Разминка для глаз.

6. Решение упражнений.

№408б (один учащийся - у доски, решаем вместе с классом)

Дано: (b_n) - геометрическая прогрессия, b₁ = 500; q= ;

Найти:S₅

S₅ =

S₅ = = = = = = 624 .

Ответ: 624 .

№ 410аб (решаем по вариантам, двое учащихся – за крыльями доски, остальные решают самостоятельно, затем вместе проверяем).

Дано: (c_n) - геометрическая прогрессия, c₁ = -4; q=3;

Найти: S₉

Решение: S₉ = .

S₉ = = = -2 -39364

7. Подведение итогов урока.

Повторяем формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Д/з п.19, № 392а,408а,409а,419б