Конспект урока «Характеристическое свойство арифметической прогрессии» по алгебре для 9 класса

Конспект урока по алгебре 9 класс

Тема урока: Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель урока: 
Знакомство с характеристическим свойством членов арифметической прогрессии.

Задачи урока:
1) Образовательные - вывести и доказать характеристическое свойство арифметической прогрессии; формировать умения применять свойство арифметической прогрессии при решении задач
2) Развивающие - вырабатывать умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации.
3)Воспитательные - содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация (Приложение 1)

Учебные пособия: Алгебра 9, Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.Н.Нешков, С.Б.Суворова под редакцией С.А.Теляковского

План урока:

1. Организационный момент, постановка задачи

2. Актуализация знаний

3. Изучение нового материала

4. Формирование умений и навыков

5. Подведение итогов урока

6. Домашнее задание

Ход урока

I. Организационный момент, постановка задачи.

Приветствие.

Тема сегодняшнего урока - характеристическое свойство арифметической прогрессии. На этом уроке мы должны установить связь между членами арифметической прогрессии и решим задачи, где используются свойства арифметических прогрессий.

II. Актуализация знаний учащихся

1. Фронтальный опрос:

- Что называется арифметической прогрессией?

– Как задается арифметическая прогрессия?

– Назовите формулу п-го члена арифметической прогрессии.

2. Математический диктант.

1) Найдите пятый член арифметической прогрессии b_n = 3n – 1;

2) У арифметической прогрессии первый член 5, второй член 8. Найдите разность d.

3) У арифметической прогрессии первый член 7, второй член 3. Найдите третий член.

4) Найдите седьмой член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 1, а разность 4.

5) У арифметической прогрессии первый член равен 4, третий член равен 8. Найдите разность d.

О т в е т ы: 1) 14

2) 3

3) -1

4) 25

5) 2

III. Изучение нового материала.

1.Рассмотрим арифметическая прогрессия (х_п): 2; 5; 8; 11; 14.

Выясним, существует ли связь между тремя любыми последовательными членами прогрессии? Предлагаю вам, ребята, самим установить эту связь. Для этого проведем исследовательскую работу.

(Класс делится на группы, каждой из которых предлагается провести исследовательскую работу с целью установления связи между тремя любыми последовательными членами прогрессии).

Задание для групп:

Вычислить: = (5.)

= (8.)

= (11.)

Какой вывод можно сделать о связи между членами арифметической прогрессии?

Вывод: «Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов».

2. Так как мы это предположили исходя из рассмотрения конкретной последовательности, данное утверждение следует доказать:

Пусть (х_п) – арифметическая прогрессия, тогда

х_п – х_{п – 1} = х_{п + 1} – х_п, то есть

2х_п = х_{п – 1} + х_{п + 1},

Следует обратить особое внимание учащихся, что это утверждение – свойство арифметической прогрессии. А если мы сформулируем обратное утверждение и сможем его доказать, то как будет оно называться? Это будет признак арифметической прогрессии: «Если в последовательности (х_п) каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией».

Пусть х_п = , где п ≥ 2, тогда 2х_п = х_{п – 1} + х_{п + 1,}

х_п – х_{п – 1} = х_{п + 1} – х_п, то есть разность между последующим и предыдущим членами последовательности (х_п) остается постоянной. Значит, (х_п) – арифметическая прогрессия .

IV. Формирование умений и навыков.

Задачи, решаемые на этом уроке, более разнообразны по сравнению с предыдущим уроком. Теперь мы можем использовать определение арифметической прогрессии, ее свойство и признак, формулу п-го члена.

Кроме того, появляются задачи, в тексте которых не задана арифметическая прогрессия в явном виде. Нужно «перевести» условие на математический язык, «увидеть» арифметическую прогрессию, решить задачу и формулировку ответа опять «перевести» на язык условия.

Упражнения:

1. № 580, № 585. Самостоятельное решение заданий на «прямое» применение формулы п-го члена и нахождения разности.

№ 582. Решение у доски с объяснениями. Необходимо самостоятельно задать арифметическую прогрессию (х_п), где

х₁ = 50 (м/мин) – скорость поезда в конце первой минуты;

d = 50 (м/мин) – увеличение скорости;

х₂₀ –?

х₂₀ = х₁ + d (20 – 1);

х₂₀ = 50 + 50 · 19 = 50 · 20 = 1000 (м/мин).

Обращаем внимание, что скорость принято выражать в км/ч, значит, ответ · 60 = 60 (км/ч).

№ 587.

2. № 589, № 593. Эти упражнения на неоднократное применение формулы п-го члена арифметической прогрессии, сводящиеся к решению системы уравнений либо неравенства.

Особое внимание следует уделить анализу условия. Решение полученной системы уравнений и неравенства ученики могут осуществить самостоятельно.

3. Упражнение на применение свойства арифметической прогрессии носит развивающий характер.

Первый член арифметической прогрессии равен 7. Найдите второй и третий ее члены, если известно, что они являются квадратами двух последовательных натуральных чисел.

Р е ш е н и е

Пусть (а_п) – арифметическая прогрессия, где

а₁ = 7;

а₂ = п²;

а₃ = (п + 1)², п N.

По свойству арифметической прогрессии:

а₂ = ;

а₁ + а₃ = 2а₂;

7 + (п + 1)² = 2п²;

п² – 2п – 8 = 0;

п = 4 или п = –2. Так как п N, то –2 – не удовлетворяет условию.

а₂ = 4² = 16;

а₃ = 5² = 25.

V. Итоги урока.

Вопросы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте свойство арифметической прогрессии.

– Сформулируйте признак арифметической прогрессии.

Домашнее задание: № 581, № 588, № 591.