Конспект урока «Производная и ее применение» по алгебре

В чем заключается геометрический смысл производной?

В чем заключается физический смысл производной?

3. Решение задач.

Разобрать следующие задачи.

1. Найдите скорость и ускорение изменения функции в точке .

2. Составить уравнение касательной к графику заданной функции в точке с абсциссой :

а)

б)

в)

В третьем задании (в) нет необходимости, как в двух первых, использовать общее уравнение касательной. Ведь графиком последней функции является полу окружность с центром (0; 0) и радиусом 1. Поэтому искомое уравнение касательной имеет вид .

3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции через точку с абсциссой x = 1.

4. В каких точках касательные к графику функции параллельны оси OX.

4. Задание из ЕГЭ.

Задание 1A:

Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой .

1) -3; 2) -4,5; 3) 3; 4) 0.

Решение:

Ответ: 3.

Задание 2A:

Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой .

1) -3; 2) 0; 3) 3; 4) 5.

Решение:

Ответ: 1.

Задание 3A:

К графику функции проведена касательная в точке с абсциссой . Как расположена точка пересечения этой касательной с осью OY.

1) выше точки (0; 0); 2) ниже точки (0; 0);

3) выше точки (0; 1); 4) в точке (0; 0).

Решение:

Составим уравнение касательной в точке .

- уравнение касательной в точке .

Если x = 0, то , значит, точка пересечения касательной с осью OY – (0; ).

Ответ: 1.

5. Итоги урока.

6. Домашнее задание.

Знать уравнение касательной к графику функции в данной точке.

Решить следующие задачи.

1. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .

а) 1; б) 2; в) 0; г) -1;

2. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой .

а) 15; б) 12; в) 11; г) 7;

3. Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции равен 2.

Ответ: .

Урок 4.

Повторение: производная и ее применение.

Цели урока: знать достаточные условия возрастания и убывания при нахождении промежутков монотонности функции, необходимые и достаточное условие экстремума функции, алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке. Уметь определить свойства функций, критические точки, точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

Можно предложить трем учащимся на перемене записать решение на доске, в начале урока проверить.

3. Актуализация опорных знаний.

Начертить на доске график функции . Устно провести исследование функции с помощью производной, т.е. ответить на следующие вопросы.

а) найдите область определения функции

б) укажите, является ли эта функция четной или нечетной

в) найдите ее производную

г) укажите критические точки

д) определите знаки производной в каждом из промежутков, на которые критические точки разбивают область определения

е) установите промежутки возрастания и убывания функции

ж) назовите достаточные условия существования точек экстремума, найдите точки экстремумов функции и значения функции в них.

з) установите интервалы знакопостоянства

и) найдите точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Решение задач.

Разобрать следующие несложные задачи. Если класс «сильный», то предложить решить их учащимся самостоятельно и сразу на уроке проверить.

1) Известно, что функция непрерывна на всем промежутке. Установите есть ли у функции точки максимума и минимума, если на промежутке , на промежутке ;на промежутке .

2) Схематически изобразите график какой-либо функции, для которой x = -3 – точка максимума, x = 4 – точка минимума.

3) Схематично изобразите график какой-либо функции, которая имеет две точки максимума и одну точку минимума.

4) Функция на промежутке имеет единственную точку экстремума – точку минимума при x = -1. Как изменяется функция на каждом из промежутков и , если функция дифференцируема на этом промежутке?

5) Найдите критические точки функций:

6) Найдите точки экстремума функций:

7) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции , непрерывной на отрезке [a; b], если известно, что на этом отрезке , , ,

5. Задание из ЕГЭ.

Задание 1A:

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0; 3]

1) 0; 2) -4; 3) -2; 4) 2.

Решение:

- критические точки функции.

Ответ: 3.

Задание 2С:

Квадрат целого числа, меньшего пяти, умножим на само это число увеличенное на четырнадцать. Найдите наибольшее значение такого произведения.

Решение:

Обозначим неизвестное число за x. Составим функцию для произведения

По смыслу задачи x

Критические точки: .

Определим знаки производной

- точка максимума

- точка минимума.

Точка максимума расположена между целыми числами -10 и -9. Сравним значения функции в этих точках:

Если x , так как на луче функция возрастает. Если , то , так как на отрезке функция убывает. На положительной полуоси функция возрастает, следовательно, при выполняется неравенство . Значит, наибольшего значения при целых x x = -9.

Ответ: 405.

Задание 3B:

На рисунке изображен график производной . Найдите точки минимума функции .

Решение:

Если - точка минимума, то . Тих точек на графике две. В одной из них производная меняет знак с «минуса» на «плюс», значит, .

Ответ: -1.

Задание 4B:

При каком значении аргумента равны скорости изменения функций и .

Решение:

Скорость изменения функции – это значение производной, значит задача сводится к решению уравнения .

Получаем,

При x = 9, 3x – 10 > 0 и 14+6x > 0, значит, x = 9 – корень уравнения.

Ответ: 9.

6. Итоги урока.

7. Домашнее задание.

Решить следующие задачи.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1; 2]

2. Найдите число, которое превышает свой квадрат на максимальное значение.

3. Исследуйте функцию и постройте ее график.