Презентация "Графическое решение квадратных уравнений" (8 класс) по математике – проект, доклад

Графическое решение квадратных уравнений Алгебра 8 класс

Немного истории

Еще в древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений. Диофант Александрийский, Аль- Хорезми . Евклид Омар Хайям

Решали уравнения геометрическими и графическими способами

Для графического решения квадратного уравнения представьте его в одном из видов: ax2 + bx +c = 0 ax2 = -bx – c ax2 + c = - bx a(x + b/2a)2 = ( 4ac - b2 )/4a

Квадратное уравнение имеет вид ax2 + bx + c = 0

Алгоритм графического решения квадратных уравнений

Ввести функцию f(x), равную левой части и g(x) , равную правой части Построить графики функций y=f(x) и y=g(x) на одной координатной плоскости Отметить точки пересечения графиков Найти абсциссы точек пересечения, сформировать ответ

Способы графического решения квадратного уравнения

ах² + bх + с = 0

Способ поcтрое- ния параболы y=ах² +bx+c

Способ поcтрое- ния прямой у= bx+c и параболы у = ах²

Способ поcтрое- ния прямой у= bx и параболы у = ах²+с

Способ выделе-ния полного квадрата

I II III (a) (b)

Способ поcтрое- ния прямой у= с и параболы у = ах²+ bx

(в)

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У. У. Сойер.

Графическое решение квадратного уравнения

Иллюстрация на одном примере

Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом

Способ 1 Построить график функции y=ax2+bx+c Найти точки пересечения графика с осью абсцисс

Решить уравнение 1 способ

Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения графика с осью х, т.е. где у=0. Значит, корни уравнения -1 и 3. Проверка устно. Ответ: -1; 3.

-1 1 3 х о у

Алгоритм построения параболы

найти координаты вершины; провести ось параболы; отметить на оси абсцисс две точки, симметричные относительно оси параболы; найти значения функции в этих точках; провести параболу через полученные точки.

Пусть f(x)= x2 – 2x -3 и g(x) =0 а = 1>0, ветви вверх Координаты вершины x۪۪ ο =-b/2a; x۪۪ ο =1 . y ο = 1² - 2 – 3 = -4; y ο = -4; ( 1; -4) Найти точки абсциссы которых симметричны относительно х=1 Построить по таблице график y=x2 -2x -3

Примеры графического решения квадратных уравнений

Решение уравнения x2-2x –3=0

Корни уравнения равны абсциссам точек пересечения параболы с осью ОХ

у=x2 – 2x -3

Графический способ решения квадратных уравнений

Парабола и прямая касаются

Парабола и прямая пересекаются

Квадратное уравнение имеет два равных корня

Квадратное уравнение не имеет корней

Квадратное уравнение имеет два различных корня

Парабола и прямая не пересекаются и не касаются

Способ 2(а) Построить графики функции y=ax2 и у = bx+ с Найти абсциссы точек пересечения графиков.

x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 = 2x +3

Пусть f(x)=x2 и g(x)=2x +3 Построим на одной координатной плоскости графики функций y=x2 иy= 2x + 3

Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой

2 способ

Преобразуем уравнение

к виду

Построим в одной системе координат графики функций

-это парабола -это прямая 0 5

Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения: -1 и 3

4 x2 – 4x + 1 =0 Представим в виде 4x2 = 4x -1

1). Построим графики функций: у = 4 x2 , у = 4x - 1

2). Строим параболу у = 4 x2 а = 4, ветви вверх хο = - ; хο= 0; ; уο= 0.

По шаблону строим параболу 3). Строим прямую у = 4x - 1

0,5

Корнем уравнения является абсцисса точки пересечения: 0,5

Способ 2 (b) Преобразовать уравнение к виду ax2+с = bx Построить: параболу y = ax2+с и прямую y = bx Найти абсциссы точек пересечения графиков функции.

x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 –3 = 2x

Пусть f(x)=x2 –3 и g(x)=2x Построим на одной координатной плоскости графики функций y=x2 –3 и y =2x

y=x2 –3 y =2x

x2 – 4x + 5 =0 Представим в виде x2 +5 = 4x

Пусть f(x)=x2 +5 и g(x)=4x Построим на одной координатной плоскости графики функций y=x2 +5 и y =4x

Точек пересечения параболы с прямой нет Ответ: корней нет

y=x2 +5 y =4x y x

Способ 2(в) Построить графики функции y=ax2 + bx и у = с Найти абсциссы точек пересечения графиков.

x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 – 2x = 3

Пусть f(x)= х² - 2х и g(x)=3 Построим на одной координатной плоскости графики функций y= х² - 2х и y=3

y=3 y= х² - 2х 2

Способ 3 (выделение полного квадрата) Преобразовать уравнение к виду a(x+l)2 = m Построить: параболу y = a(x+l)2 и прямую y = m Найти абсциссы точек пересечения графиков функций.

Выделение квадрата двучлена.

x2 – 2x + 1 = 3 + 1 ( x –1)2=4. x2 – 2x = 3 ( x –1)2 - 4 = 0 ( x –1)2 - 2² = 0

( x –1 – 2) ( x –1 + 2 ) = 0

( x –3 ) ( x + 1 ) = 0 x –3 = 0 x + 1 = 0 x = 3 x = - 1

x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде (x –1)2=4

Пусть f(x)= (x – 1)2 и g(x)=4 Построим на одной координатной плоскости графики функций y= (x –1)2 и y=4

y=4 y= (x –1)2

Решите графически уравнение

Группа А

Бычев Андрей Ерофеева Ксения Каминская Света Лобов Егор Лукьяненко Вероника Осипов Павел Циорба Влад

Группа С

Григорьева Катя Соловьев Илья

Группа В

Баличев Илья Помигуев Павел Фролов Саша

х² + 2х – 8= 0 4х² - 8х + 3= 0 3х² + 2х – 1= 0

Сколько нам открытий чудных готовит просвещения дух?

Решить графически уравнение

Как решить уравнение?

Построить график квадратичной функции и абсциссы точек пересечения параболы с осью x будут являться корнями уравнения. Выполнить преобразование уравнения, рассмотреть функции, построить графики этих функций, установить точки пересечения графиков функций, абсциссы которых и будут являться корнями уравнения.

Построить график функции

Корни уравнения: абсциссы точек пересечения графиков функций

Корни уравнения: точки пересечения параболы с осью ОХ

Корни уравнения: точки пересечения параболы и прямой

Итог

Познакомились: с графическим методом решения квадратных уравнений; с различными способами графического решения квадратных уравнений. закрепили знания по построению графиков различных функций.

Заключительное слово учителя:

«Чем больше и глубже вам удастся усвоить азы математики и научиться пользоваться ее методами, тем дальше и быстрее вы сумеете продвинуться в использовании математических средств в той области деятельности, которой займетесь после школы»

Желаю удачи !