Презентация "Правильная пирамида" по математике – проект, доклад

Правильная пирамида

Выполнила Петренко Наталья Викторовна, Учитель математики МОУ СОШ №7, Ст.Воронежской, Усть - Лабинского района, Краснодарского края

A D C B O K T E

В правильной четырехугольной пирамиде известны длина стороны основания 2 и длина высоты 2. Найдите: а) объем пирамиды; б) площадь боковой по­верхности; в) угол наклона бокового ребра к плоскости основания; г) угол наклона боковой грани к плоскости основания; д) радиус вписанного шара; е) радиус описанного шара; ж) расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания;

з) расстояние от вершины пирамиды до ребра основания; и) расстояние от ребра основания до противоположной грани; к) расстояние между боковым ребром и скрещивающейся с ним диагональю ос­нования; л) объем вписанного конуса; м) площадь боковой поверхности описанного конуса.

Выход

а) КО – высота пирамиды

В О К 2

б) Проведем апофему КТ и найдем ее длину из Δ КОТ:

В) Так как в правильной пирамиде все углы наклона всех боковых ребер к плоскости основания равны, то найдем например, <КСО. Рассмотрим ΔКСО КО=2, ОС=0,5 АС, где АС – диагональ квадрата АВСD, значит

?

г) Так как в правильной пирамиде углы наклона всех боковых граней к плоскости основания равны, то найдем, например, угол наклона боковой грани KCD к плоскости АВС. так как KT DC, то OT DC, поэтому < КТО -линейный угол искомого двугранного угла. Рассмотрим Δ КТО: КО=2.

Т

д) Так как двугранные углы при основании правильной пирамиды равны, то центр вписанного шара (точка О1) принадлежит высоте КО. Обозначим радиус вписанного шара буквой r. Рассмотрим Δ КТО: О1Р=О1О= r. Используя подобие треугольников Δ КТО и Δ КО1Р, имеем:

е) Так как боковые ребра правильной пирамиды равны, то центр описанного шара (точка О2) лежит на прямой КО. Обозначим радиус описанного шара через R. Рассмотрим Δ КСО. По теореме Пифагора из Δ О2ОС:

Получаем, что центр описанного шара совпадает с точкой О.

О2 С

ж) Расстояние от точки К до плоскости АВС равно длине отрезка КО и равно 2.

з) Так как в правильной пирамиде расстояния от вершины до ребер основания равны, то найдем, например, расстояние от точки К до ребра СD, Это расстояние равно длине апофемы КТ и равно

и) Так как прямая DС параллельна плоскости АВК (по признаку параллельности прямой и плоскости), то расстояние от прямой DС до плоскости АВК равно расстоянию от любой точки прямой DС до этой плоскости. Рассмотрим на прямой ВС точку Т. И из Δ ЕКТ (точка Е — середина АВ) найдем искомое расстояние. Это расстояние равно длине высоты ТН. Найдем длину ТН, выразив двумя способами площадь Δ ЕКТ.

Е РЕШЕНИЕ

К) Найдем расстояние от ребра КС до диагонали ВD.Проведем высоту OF в Δ КСО и докажем , что OF- общий перпендикуляр к прямым КС и ВD.

1) OF┴ КС по построению 2) Так как ВD ┴(КСО) (По признаку перпендикулярности прямой и Плоскости), а OF (КСО), то ВD┴OF 3)Найдем длину OF, используя площадь Δ КСО

F

1) Введем прямоугольную систему координат. Пусть SN- общий перпендикуляр прямых KC и BD. Найдем длину вектора SN

2)Так как SD коллинеарен BD, то существует такое число х, что

Найдем координаты векторов:

Векторно-координатный метод

z x y S N

л) Высота вписанного конуса равна высоте пирамиды, а радиус основания конуса равен радиусу окружности, вписанной в квадрат АВСD, поэтому

м) Образующая описанного конуса равна боковому ребру пирамиды, а радиус основания конуса равен радиусу окружности, описанной около квадрата АВСD, поэтому

Спасибо за внимание.