» » » Решение диофантовых уравнений

Презентация на тему Решение диофантовых уравнений


Здесь Вы можете скачать готовую презентацию на тему Решение диофантовых уравнений. Предмет презентации: Математика. Красочные слайды и илюстрации помогут вам заинтересовать своих одноклассников или аудиторию. Для просмотра содержимого презентации воспользуйтесь плеером, или если вы хотите скачать презентацию - нажмите на соответствующий текст под плеером. Презентация содержит 15 слайдов.

Слайды презентации

Слайд 1
Работу подготовили учащиеся 9 класса Работу подготовили учащиеся 9 класса МОУ СОШ №3 городского округа МОУ СОШ №3 городского округа город Мантурово город Мантурово Соколов Илья Викторович, Соколов Илья Викторович, Соколов Дмитрий Викторович. Соколов Дмитрий Викторович. Руководитель: Руководитель: Малышева Светлана Юрьевна, Малышева Светлана Юрьевна, учитель математики высшей категории учитель математики высшей категории
Слайд 2
 Цели и задачи. Цели и задачи.  Биография Диофанта Биография Диофанта  Диофантовы уравнения с одной Диофантовы уравнения с одной неизвестной неизвестной  Диофантовые уравнения первой Диофантовые уравнения первой степени степени  Диофантовые уравнения высших Диофантовые уравнения высших степеней степеней  Другие методы решения диофантовых Другие методы решения диофантовых уравнений уравнений
Слайд 3
 Цели Цели : научиться находить решения : научиться находить решения неопределенного диофантового уравнения, неопределенного диофантового уравнения, если это решение имеется. если это решение имеется.  Для достижения наших целей, были Для достижения наших целей, были поставлены следующие поставлены следующие задачи задачи : : 1) 1) Изучить литературу о Диофанте, и о Изучить литературу о Диофанте, и о диофантовых уравнениях. диофантовых уравнениях. 2) 2) Понять, как решаются диофантовые Понять, как решаются диофантовые уравнения. уравнения. 3) 3) Найти различные методы их решеня. Найти различные методы их решеня. 4) 4) Систематизировать материал. Систематизировать материал. 5) 5) Выступить с ним на научной конференции. Выступить с ним на научной конференции.
Слайд 4
Нам неизвестно, кем был Диофант, точные года его жизни. На могиле Нам неизвестно, кем был Диофант, точные года его жизни. На могиле Диофанта есть стихотворение-загадка, решая которую нетрудно Диофанта есть стихотворение-загадка, решая которую нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. О времени жизни Диофанта подсчитать, что Диофант прожил 84 года. О времени жизни Диофанта мы можем судить по работам французского исследователя науки мы можем судить по работам французского исследователя науки Поля Таннри, и это, вероятно, середина Поля Таннри, и это, вероятно, середина III III в.н.э. в.н.э. Наиболее интересным представляется творчество Диофанта. Наиболее интересным представляется творчество Диофанта. «Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой «Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы». [Стройк] До нас дошло 7 книг из 13, которые были объединены тьмы». [Стройк] До нас дошло 7 книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, леммам из образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, многие из явилась результатом многочисленных исследований, многие из которых остались нам неизвестны. Мы можем только гадать о её которых остались нам неизвестны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов. корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.
Слайд 5
«Арифметика» Диофанта – это сборник задач (их всего 189), каждая «Арифметика» Диофанта – это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением и необходимым пояснением. В из которых снабжена решением и необходимым пояснением. В собрание входят весьма разнообразные задачи, а их решение собрание входят весьма разнообразные задачи, а их решение часто в высшей степени остроумно. Диофант практиковался в часто в высшей степени остроумно. Диофант практиковался в нахождении решений неопределенных уравнений вида , или нахождении решений неопределенных уравнений вида , или систем таких уравнений. Типично для Диофанта, что его систем таких уравнений. Типично для Диофанта, что его интересуют только положительные целые и рациональные интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения. Поэтому, искомые положительные, рациональные решения. Поэтому, обычно, произвольное неопределенное уравнение (но, как обычно, произвольное неопределенное уравнение (но, как правило, все-таки с целыми коэффициентами) получает титул правило, все-таки с целыми коэффициентами) получает титул "диофантово", если хотят подчеркнуть, что его требуется решить в "диофантово", если хотят подчеркнуть, что его требуется решить в целых числах. целых числах.
Слайд 6
В дальнейшем нам потребуются следующие определения В дальнейшем нам потребуются следующие определения Определение 1 Определение 1 . . Диофантовым уравнением 1-ой степени (линейным) Диофантовым уравнением 1-ой степени (линейным) с с n n неизвестными называется уравнение вида неизвестными называется уравнение вида a a 1 1 x x 1 1 +a +a 2 2 x x 2 2 + … +a + … +a n n x x n n = = b, b, где все коэффициенты и неизвестные – целые числа и хотя бы одно где все коэффициенты и неизвестные – целые числа и хотя бы одно a a i i ≠0 ≠0 . . Для сокращения записи условимся далее сокращать фразу линейное Для сокращения записи условимся далее сокращать фразу линейное диофантово уравнение, как ЛДУ. диофантово уравнение, как ЛДУ. Определение 2. Определение 2. Решением ЛДУ называется упорядоченная Решением ЛДУ называется упорядоченная n n - - ка ка целых чисел целых чисел (( x (( x 1 1 , x , x 2 2  … ,x  … ,x n n   )) )) , такая, что , такая, что a a 1 1 x x 1 1 +a +a 2 2 x x 2 2 + … + … +a +a n n x x n n =b =b . . Нашей целью будет научиться находить решения неопределенного Нашей целью будет научиться находить решения неопределенного уравнения первой степени, если это решение имеется. уравнения первой степени, если это решение имеется. Для этого, необходимо ответить на следующие вопросы: Для этого, необходимо ответить на следующие вопросы: 1). Всегда ли ЛДУ имеет решений, найти условия существования 1). Всегда ли ЛДУ имеет решений, найти условия существования решения. решения. 2). Имеется ли алгоритм, позволяющий отыскать решение ЛДУ. 2). Имеется ли алгоритм, позволяющий отыскать решение ЛДУ.
Слайд 7
Рассмотрим уравнение Рассмотрим уравнение a a 0 0 + + a a 1 1 x x + ... + + ... + a a n n x x n n = 0, (2) где = 0, (2) где a a j j Є Є Z ( Z ( j j = 0,..., = 0,..., n n ), ), a a n n ≠ 0. ≠ 0. Покажем, каким образом можно определить все рациональные корни Покажем, каким образом можно определить все рациональные корни уравнения ( уравнения ( 2 2 ) (этот метод позволяет, в частности, решать уравнения вида ) (этот метод позволяет, в частности, решать уравнения вида ( ( 2 2 ) в целых числах). Не нарушая общности рассуждений, можно считать, ) в целых числах). Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что что a a 0 0 ≠ 0. Пусть ≠ 0. Пусть r r - рациональный корень уравнения ( - рациональный корень уравнения ( 2 2 ), ), r r = = pq pq , где , где p p Є Є Z, Z, q q Є Є N*, ( N*, ( p p , , q q ) = 1. Умножая обе части равенства ) = 1. Умножая обе части равенства a a 0 0 +a +a 1 1 p p ∕ ∕ q+ … +a q+ … +a n n (p/q) (p/q) n n =0, =0, на на q q n n , , получим получим a a 0 0 q q n n + + a a 1 1 p p * * q q n n -1 -1 + ... + ... + + a a n n -1 -1 p p n n -1 -1 q q + + a a n n p p n n = 0, = 0, следовательно, следовательно, pa pa 0 0 q q n n и и qa qa n n p p n n .( .( 3 3 )Так как ( )Так как ( p p , , q q ) = 1, то ( ) = 1, то ( p p , , q q n n ) = 1, ( ) = 1, ( q q , , p p n n ) = 1, поэтому из ) = 1, поэтому из соотношений ( соотношений ( 3 3 ) следует, что ) следует, что pa pa 0 0 , , qa qa n n . . Поскольку рациональных чисел вида Поскольку рациональных чисел вида r r = p/q, таких что ( = p/q, таких что ( p p , , q q ) = 1, ) = 1, pa pa 0 0 , , qa qa n n , , конечное число, то за конечное число шагов можно выбрать те из них, конечное число, то за конечное число шагов можно выбрать те из них, которые являются решением уравнения ( которые являются решением уравнения ( 2 2 ). Как следует из приведенных ). Как следует из приведенных выше рассуждений, других решений уравнение ( выше рассуждений, других решений уравнение ( 2 2 ) иметь не может. ) иметь не может.
Слайд 8
Перейдем теперь к решению в целых числах уравнений первой степени Перейдем теперь к решению в целых числах уравнений первой степени или так называемых линейных уравнений, т. е. уравнений вида или так называемых линейных уравнений, т. е. уравнений вида a a 1 1 x x 1 1 + + a a 2 2 x x 2 2 + ... + + ... + a a n n x x n n = = b b ,( ,( 6 6 )где )где a a j j Є Z ( Є Z ( j j = 1,2,..., = 1,2,..., n n ), ), b b Є Є Z. Z. Предположим, что не все числа Предположим, что не все числа a a j j ( ( j j = 1,..., = 1,..., n n ) равны нулю. Очевидно, для ) равны нулю. Очевидно, для существования решения в целых числах уравнения ( существования решения в целых числах уравнения ( 6 6 ) необходимо, ) необходимо, чтобы ( чтобы ( a a 1 1 ,..., ,..., a a n n ) ) b b . Покажем, что это условие является и достаточным. . Покажем, что это условие является и достаточным. Положив перейдем к равносильному Положив перейдем к равносильному уравнению уравнению a a 1 1 ’ ’ x x 1 1 + ... + + ... + a a n n ’ ’ x x n n = = b b ’ ’ ( ( 7 7 ), ), где ( где ( a a 1 1 ’, ..., ’, ..., a a n n ’) = 1. Пусть ’) = 1. Пусть a a i i , , ’ ’ a a j j ’- ’- два ненулевых числа, таких, что | два ненулевых числа, таких, что | a a i i ’| ≠ | ’| ≠ | a a j j ’|. Для определенности ’|. Для определенности предположим, что предположим, что i i < < j j , | , | a a i i ’|> | ’|> | a a j j ’|. Разделив с остатком ’|. Разделив с остатком a a i i ’ ’ на на a a j j ’ ’ , , получим представление получим представление a a i i ’ ’ = = a a j j ’ ’ q q + + r r . Заменив . Заменив a a i i ’на ’на a a j j ’ ’ q q + + r r в уравнении в уравнении ( ( 7 7 ), ), приведем его к виду приведем его к виду а а 1 1 ’ ’ x x 1 1 + ... + + ... + rx rx i i + ... + + ... + a a j j ’ ’ ( ( x x j j + + qx qx i i ) + ... ) + ... + + a a n n ’ ’ x x n n = = b b ’. (8) ’. (8) Перепишем уравнение ( Перепишем уравнение ( 8 8 ) в виде ) в виде а а k k ’, ’, k k ‡ ‡ i i х х k k , , k k ‡ ‡ j j , , a a 1 1 ’’ ’’ x x 1 1 + ... + a + ... + a n n ’’ ’’ x x n n ’’ ’’ = b = b ’ ’ , , (9), где (9), где a a k k ’’= ’’= х х k k ’’= ’’= . . r r , k , k ‡ ‡ i i х х j j + + q q х х j j , , k k = = j j , ,
Слайд 9
Очевидно, что решения уравнения ( Очевидно, что решения уравнения ( 7 7 ) и ( ) и ( 9 9 ). связаны между собой ). связаны между собой взаимно однозначным соответствием и, таким образом, решив уравнение взаимно однозначным соответствием и, таким образом, решив уравнение ( ( 9 9 ), несложно найти все решения уравнения ( ), несложно найти все решения уравнения ( 7 7 ). С другой стороны ). С другой стороны отметим, что  отметим, что  k k , , i i {1,..., {1,..., n n }, }, k k ≠ ≠ i i а а k k ’’= ’’= a a k k ’,     | ’,     | a a i i ’’| < | ’’| < | a a i i ’|. ’|. Отметим также, что Отметим также, что ( ( a a 1 1 ’’, ..., ’’, ..., a a n n ’’) = ( ’’) = ( a a 1 1 ’, ..., ’, ..., a a i i ’ ’ - - a a j j · · ’ ’ q q , ..., , ..., a a n n ’ ’ ) = ( ) = ( a a 1 1 ’, ..., ’, ..., a a n n ’ ’ ) = 1. . ) = 1. . Следовательно, за конечное число шагов уравнение ( Следовательно, за конечное число шагов уравнение ( 7 7 ) приведется к ) приведется к виду виду а а 1 1 х х 1 +…+ 1 +…+ а а n n х х n= n= b b ’ ’ ( ( 10 10 ), где числа   ( ), где числа   ( i i = 1,..., = 1,..., n n ), которые не равны ), которые не равны нулю, равны между собой по абсолютной величине. Из соотношения нулю, равны между собой по абсолютной величине. Из соотношения следует, что числа  ( следует, что числа  ( i i = 1,..., = 1,..., n n ) могут принимать только значения 0,±1, ) могут принимать только значения 0,±1, причем не все из них равны нулю. Предположим, для определенности, . причем не все из них равны нулю. Предположим, для определенности, . Тогда уравнение ( Тогда уравнение ( 10 10 ) имеет следующее решение: ) имеет следующее решение: где где t t 2 2 , , t t 3 3 , ..., , ..., t t - произвольные целые числа. Отсюда, учитывая - произвольные целые числа. Отсюда, учитывая проведенные замены, получается и решение уравнения ( проведенные замены, получается и решение уравнения ( 7 7 ). Отметим, что ). Отметим, что при получении решения уравнения ( при получении решения уравнения ( 10 10 ) использовался лишь факт, что , ) использовался лишь факт, что , поэтому, при выполнении алгоритма можно остановиться на том шаге, поэтому, при выполнении алгоритма можно остановиться на том шаге, когда хотя бы один из коэффициентов станет равен ±1. когда хотя бы один из коэффициентов станет равен ±1.
Слайд 10
1. Метод разложения на множители 1. Метод разложения на множители Доказать: что уравнение ( Доказать: что уравнение ( x x - - y y ) ) 3 3 + ( + ( y y - - z z ) ) 3 3 + ( + ( z z - - x x ) ) 3 3 = 30 = 30 не имеет решений в целых числах. не имеет решений в целых числах. Решение: Решение: Разложив левую часть на множители, приведем уравнение к виду Разложив левую часть на множители, приведем уравнение к виду ( ( x x - - y y )( )( y y - - z z )( )( z z - - x x ) = 10. ) = 10. Заметим, что ( Заметим, что ( x x - - y y ) + ( ) + ( y y - - z z ) + ( ) + ( z z - - x x ) = 0. С другой стороны, делителями ) = 0. С другой стороны, делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Нетрудно проверить, что сумма 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из этого множества, дающих в произведении 10, не любых трех чисел из этого множества, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. будет равняться 0.
Слайд 11
2. Использование четности 2. Использование четности Доказать, что уравнение Доказать, что уравнение x x 3 3 + 2 + 2 y y 3 3 + 4 + 4 z z 3 3 - 6 - 6 xyz xyz = 0, (13) = 0, (13) в целых числах не имеет решений, не равных нулю в целых числах не имеет решений, не равных нулю одновременно. одновременно. Решение: Решение: Предположим, что числа Предположим, что числа x x , , y y , , z z , не равные одновременно нулю, , не равные одновременно нулю, являются решением исходного уравнения. Видно, что число являются решением исходного уравнения. Видно, что число x x - - четное. Подстановка четное. Подстановка x x = 2 = 2 x x 1 дает 1 дает 4 4 x x 1 1 3 3 + + y y 3 3 + 2 + 2 z z 3 3 - 6 - 6 x x 1 1 yz yz = 0. = 0. Отсюда следует, что число Отсюда следует, что число y y - четное, - четное, y y = 2 = 2 y y 1. Учитывая это, 1. Учитывая это, получим получим 2 2 x x 1 1 3 3 + 4 + 4 y y 1 1 3 3 + + z z 3 3 - 6 - 6 x x 1 1 y y 1 1 z z = 0. = 0. Следовательно, Следовательно, z z - также четное число. После подстановки - также четное число. После подстановки z z = = 2 2 z z 1 уравнение принимает вид 1 уравнение принимает вид x x 1 1 3 3 + 2 + 2 y y 1 1 3 3 + 4 + 4 z z 1 1 3 3 - 6 - 6 x x 1 1 y y 1 1 z z 1 1 = 0. = 0. Рассуждая аналогично, доказывается, что для любого Рассуждая аналогично, доказывается, что для любого n n N N 2 2 n n | | x x ,   2 ,   2 n n | | y y ,   2 ,   2 n n | | z z . Противоречие. . Противоречие.
Слайд 12
Задача: Задача: Доказать, что уравнение Доказать, что уравнение x x 3 3 + + y y 3 3 + + z z 3 3 = 2 = 2 имеет бесконечно много решений в целых числах. имеет бесконечно много решений в целых числах. Решение: Решение: Положим Положим x x = = a a + + b b , , y y = = a a - - b b . Тогда . Тогда x x 3 3 + + y y 3 3 = 2 = 2 a a 3 3 + 6 + 6 ab ab 2 2 . С учетом . С учетом последнего равенства исходное уравнение принимает вид последнего равенства исходное уравнение принимает вид 2 2 a a 3 3 + 6 + 6 ab ab 2 2 + + z z 3 3 = 2. = 2. Положив Положив a a = 1, получим = 1, получим z z 3 3 = -6 = -6 b b 2 2 . Положим теперь . Положим теперь b b = 6 = 6 t t 3 3 . Отсюда . Отсюда z z = - = - 6 6 t t 2 2 , , x x = 1 + 6 = 1 + 6 t t 3 3 , , y y = 1 - 6 = 1 - 6 t t 3 3 . Таким образом, получено бесконечное . Таким образом, получено бесконечное множество решений исходного уравнения, соответствующих множество решений исходного уравнения, соответствующих целочисленным значениям параметра целочисленным значениям параметра t t
Слайд 13
Задача: Задача: Доказать, что уравнение Доказать, что уравнение X X 2 2 - 2 - 2 y y 2 2 = 1 (1 = 1 (1 4 4 )имеет бесконечно много решений в натуральных числах. )имеет бесконечно много решений в натуральных числах. Решение: Решение: Нетрудно заметить, что (3,2) - одно из решений исходного уравнения. С Нетрудно заметить, что (3,2) - одно из решений исходного уравнения. С другой стороны из тождества другой стороны из тождества ( ( x x 2 2 + 2 + 2 y y 2 2 ) ) 2 2 - 2(2 - 2(2 xy xy ) ) 2 2 = ( = ( x x 2 - 2 2 - 2 y y 2)2 2)2 следует, что если ( следует, что если ( x x , , y y ) - решение уравнения (14), то пара ( ) - решение уравнения (14), то пара ( x x 2 + 2 2 + 2 y y 2 , 2 2 , 2 xy xy ) ) также является его решением. Используя этот факт, рекуррентно также является его решением. Используя этот факт, рекуррентно определим бесконечную последовательность ( определим бесконечную последовательность ( xn xn , , yn yn ) различных ) различных решений исходного уравнения: решений исходного уравнения: ( ( x x 1 1 , , y y 1 1 ) = (3,2)   и ) = (3,2)   и x x n n +1 = +1 = x x n n 2 2 + 2 + 2 y y n n 2 2 , , y y n n +1 = 2 +1 = 2 x x n n y y n n , , n n N. N. Задача: Задача: Доказать, что уравнение Доказать, что уравнение x x ( ( x x + 1) = 4 + 1) = 4 y y ( ( y y + 1) + 1) неразрешимо в целых положительных числах. неразрешимо в целых положительных числах. Решение: Решение: Нетрудно заметить, что исходное уравнение равносильно уравнению Нетрудно заметить, что исходное уравнение равносильно уравнению x x 2 2 + + x x + 1 = (2 + 1 = (2 y y + 1) + 1) 2 2 . . Следовательно, Следовательно, x x 2 2 < (2 < (2 y y + 1) + 1) 2 2 < ( < ( x x + 1) + 1) 2 2 или или x x < 2 < 2 y y + 1 < + 1 < x x + 1. + 1. Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение. Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение.
Слайд 14
Задача: Задача: решить в целых числах уравнение. решить в целых числах уравнение. Решение: Решение: Заметим, что слагаемые в левой части уравнения имеют одинаковый Заметим, что слагаемые в левой части уравнения имеют одинаковый знак, а поскольку их сумма положительна, то каждое слагаемое также знак, а поскольку их сумма положительна, то каждое слагаемое также положительно. Применяя неравенство Коши, получим положительно. Применяя неравенство Коши, получим Следовательно, Следовательно, xyz xyz = 1. Отсюда получим, что решениями могут быть = 1. Отсюда получим, что решениями могут быть только тройки (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,-1,1), (-1,1,-1). Проверкой только тройки (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,-1,1), (-1,1,-1). Проверкой убеждаемся, что каждая из них действительно является решением убеждаемся, что каждая из них действительно является решением исходного уравнения. исходного уравнения. Задача Задача : : Доказать, что уравнение Доказать, что уравнение не имеет решений в целых положительных числах. не имеет решений в целых положительных числах. Решение: Решение: Положим Положим d d = ( = ( x x , , y y ), ), x x 1 1 = x/d, = x/d, y y 1 1 = y/d. Так как = y/d. Так как x x 2 2 + + xy xy + + y y 2 2 = = x x 2 2 y y 2 2 , , следовательно, следовательно, x x 1 1 2 2 + + x x 1 1 y y 1 1 + + y y 1 1 2 2 = = d d 2 2 x x 1 1 2 2 y y 1 1 2 2 . (15)Отсюда получаем, что . (15)Отсюда получаем, что x x 1 1 | | y y 1 1 , , y y 1 1 | | x x 1 1 . . Учитывая, что ( Учитывая, что ( x x 1 1 , , y y 1 1 ) = 1, делаем вывод, что ) = 1, делаем вывод, что x x 1 1 = = y y 1 1 = 1. Таким образом, = 1. Таким образом, уравнение (15) принимает вид уравнение (15) принимает вид d d 2 = 3, 2 = 3, Отсюда следует требуемое утверждение. Отсюда следует требуемое утверждение.
Слайд 15
Задача: Задача: Доказать, что уравнение Доказать, что уравнение x x 2 2 + 1 = + 1 = py py , , где где p p - простое число вида 4k+3, неразрешимо в целых числах. - простое число вида 4k+3, неразрешимо в целых числах. Решение: Решение: Предположим, что исходное уравнение разрешимо в целых числах. Предположим, что исходное уравнение разрешимо в целых числах. Тогда Тогда x x 2 2 + 1 ≡ 0(mod + 1 ≡ 0(mod p p ). ). Но, согласно малой теореме Ферма, Но, согласно малой теореме Ферма, -1 ≡ (-1) -1 ≡ (-1) 2 2 k k +1 +1 ≡ ( ≡ ( x x 2) 2) 2 2 k k +1 +1 ≡ ≡ x x p p -1 -1 ≡ 1(mod ≡ 1(mod p p ). ). Полученное противоречие доказывает неразрешимость исходного Полученное противоречие доказывает неразрешимость исходного уравнения в Z. уравнения в Z. Задача: Задача: решить в целых числах уравнение решить в целых числах уравнение 2 2 x x 3 + 3 + xy xy - 7 = 0. - 7 = 0. Решение: Решение: Из условия следует, что Из условия следует, что x x должен быть делителем числа 7. Т. е. должен быть делителем числа 7. Т. е. возможные значения возможные значения x x находятся среди чисел {±1, ±7}. Перебрав эти находятся среди чисел {±1, ±7}. Перебрав эти возможности, получаем решение уравнения: (1,5), (-1,-9), (7,-97), (-7,-99 возможности, получаем решение уравнения: (1,5), (-1,-9), (7,-97), (-7,-99

Другие презентации по математике



  • Яндекс.Метрика
  • Рейтинг@Mail.ru