Презентация "Логарифические уравнения" по математике – проект, доклад

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Работу выполнил: Кудинов Виктор, 10 класс ГОУ СОШ №1266 г. Москвы. Руководитель: Хавжу Инна Сергеевна, учитель математики

Содержание: 1. Свойства логарифмов. 2. Способы решения. 3. При решении уравнений важно помнить...

Логарифмические уравнения

При решении логарифмических уравнений и неравенств пользуются свойствами логарифмов, а также свойствами логарифмической функции y = log a x, a > 0, a 1 : 1) Область определения: x > 0; 2) Область значений: R; 3) logax1=logax2 x1=x2; 4) При a>1 функция y=logax возрастает, при 0 < a < 1 функция y=logax убывает при всех x > 0, т.е. a >1 и logax1>logax2 x1>x2, 0 < a < 1 и logax1>logax2 x1 < x2;

решение уравнений на основании определения логарифма; метод потенцирования; приведение логарифмического уравнения к квадратному, заменой переменной; приведение логарифмов к одному основанию; решение уравнений логарифмированием обеих частей.

Основными методами решения логарифмических уравнений являются следующие:

log x+1(2x2+1)=2 По определению логарифма имеем: 2х2+1=(х+1)2, x2 -2x=0 x=2 или x=0. Проверка: х=0 не может быть корнем данного уравнения, так как основание логарифма х+1≠1. При х=2 log 2+1( 2·22 +1)=log39=2. Ответ: 2.

Метод первый: решение уравнений на основании определения логарифма

log 5 x=log 5 (6-x2 ) Из равенства логарифмов следует: x= 6- x2 x=-3 или x=2. Проверка: x=-3 корнем уравнения быть не может, так как логарифмы отрицательных чисел не существуют. Log5 x=log52, log5(6-x2) = log5 (6-22)=log52. Ответ: 2.

Метод второй: потенцирование

lg2x3 - 10lgx + 1=0 lg2x3=(lgx3)2=(3lgx)2= 9lg2x 9lg2x - 10lgx+1=0. Пусть lgx=y, тогда 9y2- 10y+1=0 y=1 или y=1/9 lgx=1 или lgx=1/9 x=10 или х=10 1/9. Проверкой подтверждаем, что оба числа являются корнями. Ответ: 10; 10 1/9

Метод третий: приведение логарифмического уравнения к квадратному

log16x+log4x+ log2x=7 (1/4)log2x+ (1/2)log2x+ log2x=7 (7/4)log2x=7 log2x=4 x=16. Ответ: 16.

Метод четвертый: приведение логарифмов к одному основанию

Xlgx+2 = 1000 Логарифмируя обе части уравнения ( x > 0), получим: ( lgx+2)·lgx=lg1000 lg2x+ 2lgx- 3=0 lgx=y у2 + 2у- 3=0 y=- 3, у=1. lgx=- 3, x=10-3=0,001; lgx=1, x=10 Выполнив проверку, убедимся, что оба найденных значения переменной являются корнями данного уравнения. Ответ: 0,001; 10.

Метод пятый: логарифмирование обеих частей уравнения

При переходах от логарифмических уравнений к уравнениям, не содержащим знака логарифма, следует учитывать область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Решение большинства логарифмических уравнений после некоторых преобразований сводится к решению логарифмического уравнения вида logh(x) f(x) = logh(x) g(x) или совокупности таких уравнений.

При решении логарифмических уравнений следует помнить:

При решении уравнений, содержащих сумму двух и более логарифмов, следует помнить о том, что равенство loga f(x) + logag(x) = loga (f(x)g(x)), выполняется не при любых значениях переменной, поскольку области определения его левой и правой частей различны. Левая часть определена при f(x) > 0, g(x) > 0. Правая часть определена при f(x) ·g(x) > 0. Таким образом, область определения правой части равенства loga f(x) + loga g(x) = loga (f(x)g(x)) шире области определения его левой части. Поэтому при решении уравнения переход от суммы логарифмов к логарифму произведения может привести к появлению посторонних корней.

Чтобы этого не случилось, нужно в самом начале решения выписать соответствующие ограничения или, получив корни, сделать проверку. Преобразование же логарифма произведения в сумму логарифмов таит еще больше опасностей: в этом случае область допустимых значений переменной сужается и при решении уравнения можно потерять корни. Поэтому, если такое преобразование все-таки необходимо, часто приходится рассматривать два случая: f(x) > 0, g(x) > 0, тогда loga(f(x)g(x)) = loga f(x) + loga g(x); f(x) < 0, g(x) < 0, тогда loga (f(x)g(x)) = loga ( - f(x)) + loga (-g(x)).

Джон Непер (англ. John Napier; 1550—1617) шотландский барон, математик, один из изобретателей логарифмов, первый публикатор логарифмических таблиц.

Немного истории:

Используемая литература

С.М. Никольский , М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин «Алгебра и начала анализа для 10-11 классов», Москва, Просвещение, 2006 С.А. Шестаков «Книга для учителя к Сборнику заданий по алгебре и началам анализа для подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы» М.А. Куканов «Математика. 9-11 классы: решение заданий ЕГЭ высокой степени сложности. Основные методы и приемы», Волгоград, Учитель, 2009