- Решение уравнений в целых числах. Диофантовы уравнения

Презентация "Решение уравнений в целых числах. Диофантовы уравнения" (9 класс) по математике – проект, доклад

Слайд 1
Слайд 2
Слайд 3
Слайд 4
Слайд 5
Слайд 6
Слайд 7
Слайд 8
Слайд 9
Слайд 10
Слайд 11
Слайд 12
Слайд 13
Слайд 14
Слайд 15
Слайд 16

Презентацию на тему "Решение уравнений в целых числах. Диофантовы уравнения" (9 класс) можно скачать абсолютно бесплатно на нашем сайте. Предмет проекта: Математика. Красочные слайды и иллюстрации помогут вам заинтересовать своих одноклассников или аудиторию. Для просмотра содержимого воспользуйтесь плеером, или если вы хотите скачать доклад - нажмите на соответствующий текст под плеером. Презентация содержит 16 слайд(ов).

Слайды презентации

Жанатаева Алина 9 «с». Решение уравнений в целых числах. Диофантовы уравнения.
Слайд 1

Жанатаева Алина 9 «с»

Решение уравнений в целых числах. Диофантовы уравнения.

Диофантовы уравнения. Алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, решаемые во множестве целых чисел, вошли в историю математики как диофантовы. Диофантовы уравнения названы по имени последнего древнегреческого математика античности Диофанта Александрийского (III в.)
Слайд 2

Диофантовы уравнения

Алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, решаемые во множестве целых чисел, вошли в историю математики как диофантовы. Диофантовы уравнения названы по имени последнего древнегреческого математика античности Диофанта Александрийского (III в.)

Биография Диофанта. Нам неизвестно, кем был Диофант, точные года его жизни. На могиле Диофанта есть стихотворение-загадка, решая которую нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. О времени жизни Диофанта мы можем судить по работам французского исследователя науки Поля Таннри, и это, вероятно,
Слайд 3

Биография Диофанта.

Нам неизвестно, кем был Диофант, точные года его жизни. На могиле Диофанта есть стихотворение-загадка, решая которую нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. О времени жизни Диофанта мы можем судить по работам французского исследователя науки Поля Таннри, и это, вероятно, середина III в.н.э. До нас дошло 7 книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, многие из которых остались нам неизвестны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.

«Арифметика». «Арифметика» Диофанта – это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением и необходимым пояснением. Типично для Диофанта, что его интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает ко
Слайд 4

«Арифметика»

«Арифметика» Диофанта – это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением и необходимым пояснением. Типично для Диофанта, что его интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения. Поэтому, обычно, произвольное неопределенное уравнение (но, как правило, все-таки с целыми коэффициентами) получает титул "диофантово", если хотят подчеркнуть, что его требуется решить в целых числах.

Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители. Суть метода: сначала первоначальное уравнение путём группировки слагаемых и вынесения общих множителей приводится к виду, когда в левой части уравнения стоит произведение сомножителей, содержащих неизвестные, а справа стоит некоторое число. Расс
Слайд 6

Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители

Суть метода: сначала первоначальное уравнение путём группировки слагаемых и вынесения общих множителей приводится к виду, когда в левой части уравнения стоит произведение сомножителей, содержащих неизвестные, а справа стоит некоторое число. Рассматриваются все делители числа, стоящего в правой части уравнения, затем решается система и выводится ответ.

Решить уравнение в целых числах с помощью разложения на множители. Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению: Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение вида: Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и
Слайд 7

Решить уравнение в целых числах с помощью разложения на множители.

Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению: Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение вида: Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Учитывая, что Получим две системы: При решении данных систем получим: 1) 2) Ответ:

Использование свойств простых чисел. Решить в натуральных целых числах :19х+89у=1989 1. 19х+89у=1989 19х-1900=89-89у 19(х-100)=89(1-у) 2. (19;89) взаимно-простые, то равенство 19(х-100)=89(1-у) возможно в 3 случаях 3. а) х-100=89 b) х-100=-89 c) х-100=0 1-у=19 1-у=-19 1-у=0 a) х = нет b) х=11 c) х=1
Слайд 8

Использование свойств простых чисел

Решить в натуральных целых числах :19х+89у=1989 1. 19х+89у=1989 19х-1900=89-89у 19(х-100)=89(1-у) 2. (19;89) взаимно-простые, то равенство 19(х-100)=89(1-у) возможно в 3 случаях 3. а) х-100=89 b) х-100=-89 c) х-100=0 1-у=19 1-у=-19 1-у=0 a) х = нет b) х=11 c) х=100 решений у=20 у=1 ОТВЕТ: (11;20), (100;1)

Уравнения, решаемые выражением одной переменной через другую с последующим выделением целой части. Решить уравнение в целых числах: х2-ху+5х-9=0. х2+5х-9 9 y= = x+5- x , y Є Z. 9 Є Z, если х= ±1, ±3, ±9. x 3 ) Следовательно: а) х=-1, у=13 г) х=3, у=5 б) х=1, у=-3, д) х=-9, у=-3 в) х=-3, у=5 е) х=9,
Слайд 9

Уравнения, решаемые выражением одной переменной через другую с последующим выделением целой части

Решить уравнение в целых числах: х2-ху+5х-9=0. х2+5х-9 9 y= = x+5- x , y Є Z. 9 Є Z, если х= ±1, ±3, ±9. x 3 ) Следовательно: а) х=-1, у=13 г) х=3, у=5 б) х=1, у=-3, д) х=-9, у=-3 в) х=-3, у=5 е) х=9, у=13 Ответ(-1;13);(1;-3);(-3;5);(3;5);(-9;-3);(9;13).

x

Учет четности, нечетности чисел. Решить в целых числах уравнение: х3+у3-3ху=2 1)Если х, у нечетны => х3-нечетное число у3-нечетное число 3ху-нечетное число => Получаем: нечет+нечет-нечет ≠ чет 2)Если х-четное, у-нечетное => х3-четное число у3-нечетное число 3ху-четное число => Получаем:
Слайд 10

Учет четности, нечетности чисел.

Решить в целых числах уравнение: х3+у3-3ху=2 1)Если х, у нечетны => х3-нечетное число у3-нечетное число 3ху-нечетное число => Получаем: нечет+нечет-нечет ≠ чет 2)Если х-четное, у-нечетное => х3-четное число у3-нечетное число 3ху-четное число => Получаем: чет+нечет-чет ≠ чет (аналогично, если х-нечетное, у-четное) 3)Если х-четное, у-четное, тогда пусть х=2m, y=2n 8m3+8n3-12mn=2 4(2m3+2n3-3mn)=2/:2 2(2m3+2n3-3mn)=1/:2 2m3+2n3-3mn= 0,5 => невозможно ни при каких целых m и n ОТВЕТ: решений нет

Доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах: х!+у!=10z+9 (x! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (x − 1) ⋅ x ) Решение: Так как правая часть уравнения – нечетное число, то и левая часть должна быть нечетным числом. Поэтому или x , или y меньше 2, т.е.=1 Пусть х!=1 =>y!=10z+8 Правая часть последнего р
Слайд 11

Доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах: х!+у!=10z+9 (x! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (x − 1) ⋅ x ) Решение: Так как правая часть уравнения – нечетное число, то и левая часть должна быть нечетным числом. Поэтому или x , или y меньше 2, т.е.=1 Пусть х!=1 =>y!=10z+8 Правая часть последнего равенства не делится на 5 => y≤4 , но ни одно из целых чисел, которые удовлетворяют этому неравенству, не служат решением данного уравнения. =>данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Учёт ограниченности выражений. Решить уравнение в целых числах: 2(х4-2х2+3)(у4-3у2+4)=7 (х4-2х2+3)(у4-3у2+4)=7/2 РЕШЕНИЕ: 1.Заметим что: 1) х4-2х2+3=х4-2х2+1+2=(х2-1)2+2≥2 2) 2. => Значит левая часть ≥ 7. 3. => уравнение равносильно системе : Откуда х =±1,у = ОТВЕТ: уравнение не имеет решений
Слайд 12

Учёт ограниченности выражений

Решить уравнение в целых числах: 2(х4-2х2+3)(у4-3у2+4)=7 (х4-2х2+3)(у4-3у2+4)=7/2 РЕШЕНИЕ: 1.Заметим что: 1) х4-2х2+3=х4-2х2+1+2=(х2-1)2+2≥2 2) 2. => Значит левая часть ≥ 7. 3. => уравнение равносильно системе : Откуда х =±1,у = ОТВЕТ: уравнение не имеет решений в целых числах.

- 3 - +

Уравнения, решаемые с помощью представления левой части уравнения в виде суммы неотрицательных слагаемых. Решить в целых числах уравнение: Решение: Представим левую часть уравнения в виде суммы неотрицательных слагаемых. Составим систему уравнений Т.к. х и у не принадлежат Z => уравнение не имеет
Слайд 13

Уравнения, решаемые с помощью представления левой части уравнения в виде суммы неотрицательных слагаемых

Решить в целых числах уравнение: Решение: Представим левую часть уравнения в виде суммы неотрицательных слагаемых. Составим систему уравнений Т.к. х и у не принадлежат Z => уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: нет решений

Учет свойств делимости. Решить в целых числах уравнение х3-100=225у РЕШЕНИЕ: Очевидно, что х3 должен быть кратен 5 Пусть х= 5z, z Є Z, тогда 125z3-100=225y => 5z3-4=9y Очевидно,что левая часть уравнения должна быть кратна 9,т.е a) z=3t b) z=3t+1 c) z=3t-1,x=5z => 5(3t)3-4=9y 5(3t+1)3-4=9y 5(3t
Слайд 14

Учет свойств делимости.

Решить в целых числах уравнение х3-100=225у РЕШЕНИЕ: Очевидно, что х3 должен быть кратен 5 Пусть х= 5z, z Є Z, тогда 125z3-100=225y => 5z3-4=9y Очевидно,что левая часть уравнения должна быть кратна 9,т.е a) z=3t b) z=3t+1 c) z=3t-1,x=5z => 5(3t)3-4=9y 5(3t+1)3-4=9y 5(3t-1)3-4=9y 135t3-4=9y 5(27t3+27t2+9t+1)-4=9 5(27t3-27t2+9t-1)-4=9y 135t3+135t2+45t+1=9y 135t3-135t2+45t-9=9y с)кратно 9 а) Не кратно 9 б)не кратно 9 => х=15t-5, y=15t3-15t2+5t-1 ОТВЕТ: (15t-5; 15t3-15t2+5t-1), t Є Z

Решить уравнение в целых числах: 7(х+у)=3(х2-ху+у2) РЕШЕНИЕ: Пусть х+у=р, х-у=q. =>, Подставим в исходное уравнение: 7р= 28p=3(p2+3q) Т.к. 28p=3(p2+3q), то p–неотрицательное и p кратно 3, т.е p=3k, k Є Z Пусть p=3k, тогда получим 28*3k=3((3k)2 +3q2); 28k=3(3k2 +q2). Отсюда следует, что k кратно 3
Слайд 15

Решить уравнение в целых числах: 7(х+у)=3(х2-ху+у2) РЕШЕНИЕ: Пусть х+у=р, х-у=q. =>, Подставим в исходное уравнение: 7р= 28p=3(p2+3q) Т.к. 28p=3(p2+3q), то p–неотрицательное и p кратно 3, т.е p=3k, k Є Z Пусть p=3k, тогда получим 28*3k=3((3k)2 +3q2); 28k=3(3k2 +q2). Отсюда следует, что k кратно 3 => k=3m, m Є Z; Пусть k=3m, получим 28*3m=3(3(3m)2 + q2; 28m=27m2+q2 ; m(28-27m)=q2; так как q2≥0, то m=0, или m=1 (решаем неравенство m(28-27m) ≥0 c помощью метода интервалов) 7. а) При m=0, k=0 (т.к. k=3m), p=0 (т.к. p=3k), q=0(т.к. 28p=3(p2+3q)), => х=0, у=0 (т.к. ) b)При m=1, k=3, p=9, q2=1(т.к. m(28-27m)=q2) => 1)При q= 1, получаем х=5; у=4; b) при q= -1, получаем х=4; у=5; ОТВЕТ:(5:4);(4:5);(0:0)

Спасибо за внимание!
Слайд 16

Спасибо за внимание!

Список похожих презентаций

Арккосинус и решение уравнения cos x = a

Арккосинус и решение уравнения cos x = a

Цели урока. ввести понятие arccos x; вывести формулу решения уравнения cos x=a, ; рассмотреть уравнения на применение этой формулы; рассмотреть простейшие ...
8 класс "Решение квадратных уравнений"

8 класс "Решение квадратных уравнений"

. . . . . . «Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические тайны». . Цель: привести в систему знания о квадратных уравнениях и умение ...
Арксинус. Решение уравнения sin t = a

Арксинус. Решение уравнения sin t = a

Цели. Изучить определение арксинуса числа. Изучить формулы решения простейшего тригонометрического уравнения sin t = a. Повторим. Что называется синусом ...
Алгебра высказываний. Решение логических задач

Алгебра высказываний. Решение логических задач

Задача 1: Составьте сложное высказывание в словесной форме из простых, заданных математическим формулировкам:. Высказывание А: «Учащийся Иванов хорошо ...
Блиц-опрос "Решение треугольников"

Блиц-опрос "Решение треугольников"

Выбери вопрос. В треугольнике АВС угол А равен 40 градусов. Внешний угол при вершине В равен 68 градусов. Найдите угол С. Угол С равен 28 градусов. ...
Аналитические методы решения логарифмических уравнений

Аналитические методы решения логарифмических уравнений

Цели урока:. Обобщить и систематизировать изученные методы решения логарифмических уравнений Выявить особенности каждого метода Выяснить, всегда ли ...
Аксиомы стереометрии и их следствия. Решение задач

Аксиомы стереометрии и их следствия. Решение задач

Цель урока: обобщение и применение аксиом и их следствий к решению задач. Математический диктант. 1). Сформулируйте аксиомы стереометрии: Аксиома ...
7 способов решения тригонометрического уравнения

7 способов решения тригонометрического уравнения

Математики видят ее в:. гармонии чисел и форм, геометрической выразительности, стройности математических формул, решении задач различными способами, ...
Автоматизация труда учителя на примере решения систем алгебраических уравнений с использованием программного пакета MATHCAD

Автоматизация труда учителя на примере решения систем алгебраических уравнений с использованием программного пакета MATHCAD

Ознакомить учителей математики с возможностями продукта MathCAD Обеспечить автоматизацию работы учителей с использованием MathCAD Рассмотреть решение ...
10 способов решения квадратных уравнений

10 способов решения квадратных уравнений

История развития квадратных уравнений. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне: Х2+Х=3/4 Х2-Х=14,5. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения. ...
Аналитический и численный методы решения систем уравнений с параметром

Аналитический и численный методы решения систем уравнений с параметром

АНАЛИТИЧЕСКИЙ И ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ. Астрахарчик Н.А. Система симметрична относительно знака x. Система симметрична ...
Алгебраические уравнения произвольных степеней

Алгебраические уравнения произвольных степеней

Алгебраические уравнения произвольных степеней. 1. Введение. Всякий школьник, прежде всего, умеет решать уравнение первой степени: если дано уравнение ...
«Симметрия в пространстве» геометрия

«Симметрия в пространстве» геометрия

Что такое симметрия? Симметрия в переводе с греческого означает соразмерность. Под симметрией принято понимать свойство геометрической фигуры, расположенной ...
Бинарный урок геометрии и информатики "Четырехугольники. Решение задач" Лауреат

Бинарный урок геометрии и информатики "Четырехугольники. Решение задач" Лауреат

Проверка домашнего задания. В трапеции АВСD (АD – большее основание) диагональ АС ┴СD и делит ВАD пополам, СDА=60, периметр трапеции – 20 см. Найдите ...
Без математики, друзья, в жизни нам никак нельзя

Без математики, друзья, в жизни нам никак нельзя

Актуальность. Математика находится в тесной связи со всеми естественными, гуманитарными, точными науками и др., математические знания применяются ...
"Смешанные дроби. Представление смешанного числа в виде неправильной дроби".

"Смешанные дроби. Представление смешанного числа в виде неправильной дроби".

Смешанные дроби. Представление смешанного числа в виде неправильной дроби. 02.03. Определите координаты точек А, В, С и М. ...
Арифметические действия в двоичной системе счисления

Арифметические действия в двоичной системе счисления

ЗАДАНИЕ «ТЕЗИСЫ». Верно ли каждое из следующих утверждений? Если «Да», то записывайте 1. Если «Нет», то записывайте 0. В результате должно получиться ...
Арифметическая прогрессия в древности

Арифметическая прогрессия в древности

Египетские папирусы и вавилонские клинописные таблички, относящие ко II тыс. до н.э., содержат примеры задач на арифметическую прогрессию. Каких-либо ...
Аксиомы стереометрии Решение задач

Аксиомы стереометрии Решение задач

Через любые две точки пространства проходит единственная прямая. Через любые три точки пространства, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная ...
«Закрепление изученого» (Сложение и вычитание с переходом через десяток в пределах 20)

«Закрепление изученого» (Сложение и вычитание с переходом через десяток в пределах 20)

Цели урока:. 1. Закрепить знания о сложении и вычитании с переходом через десяток в приделах 20. 2. Упражняться в решении задач изученных видов. План ...

Конспекты

Арксинус. Решение уравнения sin t =a

Арксинус. Решение уравнения sin t =a

Муниципальное общеобразовательное учреждение. «Гимназия №87» города Саратова. Методическая разработка. . урока по теме. . «Арксинус. ...
Виды уравнений. Методы решения уравнений

Виды уравнений. Методы решения уравнений

ГАОУ НПО Профессиональный лицей № 59. Оренбургская область, Красногвардейский район, с. Плешаново. Виды уравнений. Методы решения уравнений. ...
Биквадратные уравнения

Биквадратные уравнения

Иванова Ольга Александровна. МОУ «СОШ №2» г. Всеволожска. Учитель математики. Урок по теме: «Биквадратные уравнения». Цели урока:. . Обучающие:. ...
Арифметический способ отбора корней в тригонометрических уравнениях

Арифметический способ отбора корней в тригонометрических уравнениях

Конспект урока для 11 класса на тему «Арифметический способ отбора корней в тригонометрических уравнениях». Цели и задачи урока:. . . повторение ...
Алгебраические уравнения

Алгебраические уравнения

Автор. – Прокофьева Тамара Александровна,. учитель МБОУ СОШ №12 г. Дзержинска Нижегородской обл. Тема 1 Алгебраические уравнения. «Мне приходится ...
Виды углов в планиметрии

Виды углов в планиметрии

Лабораторно-практические занятия по геометрии в 7 классе. Лабораторно-практические занятия имеют важное значение, особенно при обучении детей с ...
Видеть и слышать, или как не потеряться в мире информации

Видеть и слышать, или как не потеряться в мире информации

Конспект – сценарий урока, разработанного учителями МОУ Брызгаловская СОШ Ивановой Е.Б. и Колпаковой Л.В. Тема: «Видеть и слышать, или как не потеряться ...
Введение в теорию вероятностей

Введение в теорию вероятностей

9 класс. Тема: Введение в теорию вероятностей.(90 мин.). Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, ...
Бородинское сражение в математических задачах

Бородинское сражение в математических задачах

Открытый урок «Бородинское сражение в математических задачах». Карташова Ирина Викторовна , учитель математики МБОУ «Бирюковская СОШ». Техническое ...
Большие и малые числа в химии

Большие и малые числа в химии

МКОУ «Средняя общеобразовательная школва №5. . города Ершова Саратовской области». . Бинарный урок. Большие и малые числа в химии. Провели ...

Советы как сделать хороший доклад презентации или проекта

  1. Постарайтесь вовлечь аудиторию в рассказ, настройте взаимодействие с аудиторией с помощью наводящих вопросов, игровой части, не бойтесь пошутить и искренне улыбнуться (где это уместно).
  2. Старайтесь объяснять слайд своими словами, добавлять дополнительные интересные факты, не нужно просто читать информацию со слайдов, ее аудитория может прочитать и сама.
  3. Не нужно перегружать слайды Вашего проекта текстовыми блоками, больше иллюстраций и минимум текста позволят лучше донести информацию и привлечь внимание. На слайде должна быть только ключевая информация, остальное лучше рассказать слушателям устно.
  4. Текст должен быть хорошо читаемым, иначе аудитория не сможет увидеть подаваемую информацию, будет сильно отвлекаться от рассказа, пытаясь хоть что-то разобрать, или вовсе утратит весь интерес. Для этого нужно правильно подобрать шрифт, учитывая, где и как будет происходить трансляция презентации, а также правильно подобрать сочетание фона и текста.
  5. Важно провести репетицию Вашего доклада, продумать, как Вы поздороваетесь с аудиторией, что скажете первым, как закончите презентацию. Все приходит с опытом.
  6. Правильно подберите наряд, т.к. одежда докладчика также играет большую роль в восприятии его выступления.
  7. Старайтесь говорить уверенно, плавно и связно.
  8. Старайтесь получить удовольствие от выступления, тогда Вы сможете быть более непринужденным и будете меньше волноваться.

Информация о презентации

Ваша оценка: Оцените презентацию по шкале от 1 до 5 баллов
Дата добавления:12 февраля 2019
Категория:Математика
Классы:
Содержит:16 слайд(ов)
Поделись с друзьями:
Скачать презентацию
Смотреть советы по подготовке презентации