Презентация "Обыкновенные дифференциальные уравнения" по математике – проект, доклад

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Лекция 4

Уравнение первого порядка

Функциональное уравнение F(x,y,y) = 0 или y= f(x,y), связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию y(x) и ее производную y(x), называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Решение дифференциального уравнения

Решением уравнения первого порядка называется всякая функция y=(x), которая, будучи подставлена в уравнение вместе со своей производной y=(x), обращает его в тождество относительно x.

Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется такая функция y = (x,C), которая при любом значении параметра C является решением этого дифференциального уравнения.

Уравнение Ф(x,y,C) =0, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.

Уравнение, разрешенное относительно производной

Если уравнение 1-го порядка разрешить относительно производной, то оно может быть представлено в виде Его общее решение геометрически представляет собой семейство интегральных кривых, т. е. совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной C.

Постановка задачи Коши

Задача отыскания решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию при , называется задачей Коши для уравнения 1-го порядка.

Геометрически это означает: найти интегральную кривую дифференциального уравнения , проходящую через данную точку .

Уравнение с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид: . Для решения уравнения делят обе его части на произведение функций , а затем интегрируют.

Пример

Разделим переменные в уравнении Интегрируем: Имеем: .

Понятие однородной функции

Функция z=f(x,y) называется однородной порядка k, если при умножении ее аргументов на t получаем: Если k=0, то имеем функцию нулевого порядка. Например, функция нулевого порядка.

Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду y= или к виду где и – однородные функции одного порядка .

Решить уравнение

Линейные уравнения 1-го порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит и в первой степени, т.е. имеет вид . Решают такое уравнение с помощью подстановки y=uv, где u и v-вспомогательные неизвестные функции, которые находят, подставляя в уравнение вспомогательные функции и на одну из функций налагают определенные условия.

Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение 1-го порядка, имеющее вид , где и Его, как и линейное уравнение решают с помощью подстановки

Решить уравнения 1) 2)