- Тригонометрические уравнения

Конспект урока «Тригонометрические уравнения» по алгебре


Захарова Людмила Владимировна
МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 59» г. Барнаула
учитель математики

zlv-13@mail.ru











































1 Простейшие тригонометрические уравнения


Цель: 1. Вывести формулы решений простейших тригонометрических уравнений вида sinx =a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a;

2. Научиться решать простейшие тригонометрические уравнения с помощью формул.


Оборудование: 1)Таблицы с графиками тригонометрических функций у=sinx, у=cosx, у=tgx, у=ctgx; 2)Таблица значений обратных тригонометрических функций; 3)Сводная таблица формул для решения простейших тригонометрических уравнений.


План урока-лекции:

1.Вывод формул корней уравнения

а) sinx =a,

б) cosx=a,

в) tgx=a,

г) ctgx=а.

2. Устная фронтальная работа по закреплению полученных формул.

3. Письменная работа по закреплению изученного материала


Ход урока.

В алгебре, геометрии, физике и других предметах мы сталкиваемся с разнообразными задачами, решение которых связано с решением уравнений. Мы изучили свойства тригонометрических функций, поэтому естественно обратиться к уравнениям, в которых неизвестное содержится под знаком функций


Определение: Уравнения вида sinx =a, cosx=a, tgx=a, ctgx=а называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Очень важно научиться решать простейшие тригонометрические уравнения, так как все способы и приемы решения любых тригонометрических уравнений заключается в сведении их к простейшим.

Начнем с того, что выведем формулы, которые «активно» работают при решении тригонометрических уравнений.

1.Уравнения вида sinx =a.

Решим уравнение sinx =a графически. Для этого в одной системе координат построим графики функций у=sinx и у=а.




1) Если а> 1 и аsinх=а не имеет решений, так как прямая и синусоида не имеют общих точек.

2) Если -1а а пересечет синусоиду бесконечно много раз. Это означает, что уравнение sinx=a имеет бесконечно много решений.


Так как период синуса равен 2, то для решения уравнения sinx=a достаточно найти все решения на любом отрезке длины 2.


Решением уравнения на [-/2; /2] по определению арксинуса х=arcsin a, а на [/2; 3/2] х=-arcsin a. Учитывая периодичность функции у=sinx получим следующие выражения

x=arcsin a+ 2n

х= -arcsin a+2n, n Z.

Обе серии решений можно объединить

х= ( -1)narcsin a+n, nZ.

В следующих трех случаях предпочитают пользоваться не общей формулой, а более простыми соотношениями:

Если а=-1, то sin x =-1, х=-/2+2n

Если а=1, то sin x =1, x =/2+2n

Если а=0, то sin x =0. x = n,


Пример: Решить уравнение sinx =1/2.

Составим формулы решений x=arcsin 1/2+ 2n

х= -arcsin a+2n

Вычислим значение arcsin1/2. Подставим найденное значение в формулы решений

x=/6+ 2n

х= 5/6+2n

или по общей формуле

х= ( -1)narcsin 1/2+n,

х= ( -1)n/6+n,


2. Уравнения вида cosx=a.


Решим уравнение cosx=a также графически, построив графики функций у= cosx и у=а.

1) Если а 1, то уравнение cosx=a не имеет решений, так как графики не имеют общих точек.

2) Если -1acosx=a имеет бесконечное множество решений.


Найдем все решения cosx=a на промежутке длины 2 так как период косинуса равен 2.


На [0; ] решением уравнения по определению арккосинуса будет х=arcos a. Учитывая четность функции косинус решением уравнения на [-;0] будет х=-arcos a.

Таким образом решения уравнения cosx=a х=+ arcos a+2 n,

В трех случаях будем пользоваться не общей формулой, а более простыми сотношениями:

Если а=-1, то cosx =-1, x =-/2+2n

Если а=1, то cosx =1, x = 2n,

Если а=0, то cosx =0. x =/2+n



Пример: Решить уравнение cos x =1/2,

Составим формулы решений x=arccos 1/2+ 2n

Вычислим значение arccos1/2.

Подставим найденное значение в формулы решений

X=+ /3+2n, nZ.



  1. Уравнения вида tgx=a.









Так как период тангенса равен , то для того чтобы найти все решения уравнения tgx=a, достаточно найти все решения на любом промежутке длины . По определению арктангенса решение уравнения на (-/2; /2) есть arctga. Учитывая период функции все решения уравнения можно записать в виде

х= arctg a+ n, nZ.


Пример: Решите уравнение tg x = 3/3

Составим формулу для решения х= arctg 3/3 +n, nZ.

Вычислим значение арктангенса arctg 3/3= /6, тогда

х=/6+n, nZ.




Вывод формулы для решения уравнения сtgx=a можно предоставить учащимся.

Пример.

Решить уравнение ctg х = 1.

х = arcсtg 1 + n, nZ,

х = /4 + n, nZ.

В результате изученного материала учащиеся могут заполнить таблицу:

«Решение тригонометрических уравнений».

уравнение

формулы корней

sinx =a

х= ( -1)narcsin a+n, nZ.



cosx=a

х=+ arcos a+2 n, nZ.


tgx=a

х= arctg a+ n, nZ.


сtgx=a

х= arcсtg a+ n, nZ.


Упражнения для закрепления изученного материала.

  1. (Устно ) Какие из записанных уравнений можно решить по формулам:

а) х= ( -1)narcsin a+n, nZ;

б) х=+ arcos a+2 n?

cos x = 2/2, tg x= 1 , sin x = 1/3, ctg x = 3/3, sin x = -1/2, cos x= 2/3, sin x = 3 , cos x = 2.


Какие из перечисленных уравнений не имеют решений?


  1. Решите уравнения:

а) sin x = 0; д) sin x = 2/2; з) sin x = 2;

б) cos x = 2/2; е) cos x = -1/2; и) cos x = 1;

г) tg x = 3; ж) ctg x = -1; к) tg x = 1/ 3.

3. Решите уравнения:

а) sin 3x = 0; д) 2cos x = 1;

б) cos x/2 =1/2; е) 3 tg 3x =1;

г) sin x/4 = 1; ж) 2cos(2x+ /5) = 3.



При решении данных уравнений полезно записать правила для решения уравнений вида sinвx =a, и сsinвx =a, |a|1.

sinвx =a, |a|1.

вх= ( -1)n arcsin a+n, nZ,

х= ( -1)n1/в arcsin a+n/в, nZ.

cosвx=a, |a|1.

вx=+ arcos a+2 n, nZ,

х=+ 1/вarcos a+2 n/в, nZ,

сsinвx =a, |a|1.

sinвx =a/с,

вх= ( -1)n arcsin a/с+n, nZ,

х= ( -1)n1/в arcsin a/с+n/в, nZ.


с cos вx =a, |a|1.

cos вx =a /с/.

X=+ 1/в arcos a/с+2 n/в.



Подведение итогов занятия:

  1. Сегодня на занятии мы вывели формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

  2. Разобрали примеры решения простейших тригонометрических уравнений.

  3. Заполнили таблицу, которую будем использовать для решения уравнений.

Домашнее задание.






























2 Решение тригонометрических уравнений



Цель: Изучить методы решения тригонометрических уравнений:1) приводимых к квадратным;2) приводимых к однородным тригонометрическим уравнениям.

Развивать у учащихся наблюдательность при применении различных способов решения тригонометрических уравнений.


  1. Фронтальная работа с учащимися.

  1. Назовите формулы корней тригонометрических уравнений cos x=a, sin x=a, tgx = a, ctg x = a.

  2. Решите уравнения (устно):

cos x=-1, sin x=0, tgx =0, ctg x=1, cos x=1,5, sin x=0.

  1. Найдите ошибки и подумайте о причинах ошибок.

cos x=1/2, х=+/6+2k, kZ.

sin x= 3/2, х= /3+k, kZ.

tgx = /4, x=1+ k, kZ.


2. Изучение нового материала.

На данном занятии будут рассмотрены некоторые наиболее часто встречающиеся методы решения тригонометрических уравнений.


Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным.

К этому классу могут быть отнесены уравнения, в которые входят одна функция (синус или косинус) или две функции одного аргумента, но одна их них с помощью основных тригонометрических тождеств сводится ко второй.

Например, если cоsх входит в уравнение в четных степенях, то заменяем его на 1- sin2x, если sin2x, то его заменяем на 1-cos2x.

Пример.

Решить уравнение: 8sin2x - 6sin x -5 =0.

Решение: Обозначим sin x=t, тогда 8t2- 6t – 5=0,

D= 196,

t1= -1/2, t2= -5/4.

Выполним обратную замену и решим следующие уравнения.

sin x= -1/2,

х=(-1)к+1/6+k, kZ.

sin x= -5/4.

Так как -5/4>1, то уравнение не имеет корней.

Ответ: х=(-1)к+1/6+k, kZ.


Решение упражнений на закрепление.

Решить уравнение:

1) 2sin2 x+ 3cos x = 0;


2) 5sin2 x+ 6cos x -6 = 0;

3) 2sin2 x+ 3cos2 x = -2sin x;

4) 3tg 2x +2 tgx-1=0.


Однородные тригонометрические уравнения.

Определение:1) Уравнение вида a sinx +b cosx=0, (а=0, в=0) называется однородным уравнением первой степени относительно sin x и cos x.

Решается данное уравнение с помощью деления обеих его частей на cos x 0. В результате получается уравнение a tgx+b=0.

2) Уравнение вида a sin2x +b sinx cosx +c cos2x =0 называется однородным уравнением второй степени, где a, b, c какие-либо числа.

Если а=0, то уравнение решаем делением обеих частей на cos2x 0. В результате получаем уравнение a tg2x+ b tgx+с =0.


Замечание: Уравнение вида a sin mx +b cos mx=0 или

a sin2 mx +b sin mx cos mx +c cos2 mx =0 также являются однородными. Для их решения обе части уравнения делят на cos mx=0 или cos2 mx=0


3) К однородным уравнениям могут быть сведены различные уравнения, которые первоначально не являются такими. Например, sin2 mx +b sin mx cos mx +c cos2 mx =d, и a sinx +b cosx=d. Для решения этих уравнений необходимо умножить правую часть на « тригонометрическую единицу» т.е. на sin2x + cos2x и выполнить математические преобразования.

Упражнения на закрепление изученного материала:

1) 2sin x- 3cos x = 0; 5) 4 sin2x – sin2x =3;

2) sin 2x+ cos2x = 0; 6) 3 sin2x + sinx cosx =2 cos2x ;

3) sin x+ 3cos x = 0; 7) 3 sin2x- sinx cosx =2;

4) sin2x -3 sinx cosx +2 cos2x =0



3.Подведение итогов урока . Домашнее задание.

На данном занятии в зависимости от подготовленности группы можно рассмотреть решение уравнений вида a sin mx +b cos mx=с, где а, b,с не равны нулю одновременно.

Упражнения на закрепление:

1. 3sin x + cos x=2;

2. 3sin 2x + cos 2x= 2;

3. sin x/3 + cos x/3=1;

4. 12sin x +5 cos x+13=0.









3 Решение тригонометрических уравнений

Цель: 1) Изучить метод решения тригонометрических уравнений разложением на множители; научиться решать тригонометрические уравнения с использованием различных тригонометрических формул;

2) Проконтролировать: знание учащимися формул для решения простейших тригонометрических уравнений; умение решать простейшие тригонометрические уравнения.

План занятия:

  1. Проверка домашнего задания.

  2. Математический диктант.

  3. Изучение нового материала.

  4. Закрепление изученного материала через решение уравнений различной сложности.

  5. Самостоятельная работа.

  6. Подведение итогов занятия. Домашнее задание.

Ход занятия:


  1. Проверка домашнего задания (решение тригонометрических уравнений кратко записаны на доске).


  1. Математический диктант.


В-1

1. Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями?

2. Как называется уравнение вида a sinx +b cosx=0? Укажите способ его решения.

3.Запишите формулу корней уравнения tgx = a (ctg x=a).

4. Запишите формулы корней уравнений вида cosx=a, где а=1, а=0, а=-1.

5. Запишите общую формулу корней уравнения sin x=a, |a|

6. Как решаются уравнения вида acosx=b, |b|


В-2

1. Запишите формулы корней уравнений cosx=a,|a|

2. Запишите общую формулу корней уравнения

=a, |a|

3. Как называются уравнения вида sin x=a, tgx = a, sin x=a?

4.Запишите формулы корней уравнения sin x=a, если а=1, а=0, а=-1.

5.Как решаются уравнения вида sin ax=b, |b|

6. Какие уравнения называются однородными уравнениями второй степени? Как они решаются?


  1. Изучение нового материала.

Метод разложения на множители.

Одним из наиболее употребительных методов решения тригонометрических уравнений является метод разложения на множители.

Если уравнение f(x) =0 можно представить в виде f1(x) f2(x) =0 , то задача сводится к решению двух уравнений f1(x)=0, f2(x) =0.

( С учащимися полезно вспомнить правило «Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл»)

  1. Закрепление изученного материала через решение уравнений различной сложности.

  1. (sin x-1/2)( sin x+1)=0; 2) (cosx- 2/2)( sin x+ 2/2)=0;(самост.)

3) sin2 x+ sin x cosx=0; 4) sin2 x- sin x =0;

5 ) sin 2xcosx=0; 6) 4 cos2x -1 =0; (2-мя способами)

7) cosx+ cos3x=0; 8) sin 3x= sin 17x;

9) sin x+ sin 2x+ sin 3x=0; 10) cos3x cos5x

11) sin x cos5x =sin 9x cos3x sin 2x sin 2x

12) 3 cosx sin x+ cos 2x=0(самост.)


13) 2 cos2x - sin (x- /2)+ tgx tg (x+/2)=0.


  1. Самостоятельная работа.

Вариант-1 Вариант-2

1) 6sin2 x+ 5sin x -1=0; 1) 3 cos 2x+2 cosx -5=0;

2) sin 2x – cos2x=0; 2) 3 cos x/2 - sin x/2=0;

3) 5sin2 x+ sin x cosx -2 cos2 х=2; 3) 4sin2 x- sin x cosx +7cos2 х=5;

4) sin x+sin5x=sin3x+sin7x; 4) sin x-sin 2x +sin 3x-sin 4x=0;

5) sin x+cosx=1. 5) sin x+cosx=2.


8. Подведение итогов урока. Домашнее задание.












Здесь представлен конспект к уроку на тему «Тригонометрические уравнения», который Вы можете бесплатно скачать на нашем сайте. Предмет конспекта: Алгебра Также здесь Вы можете найти дополнительные учебные материалы и презентации по данной теме, используя которые, Вы сможете еще больше заинтересовать аудиторию и преподнести еще больше полезной информации.

Список похожих конспектов

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения

Конспект урока алгебры и начала анализа в 11 классе. по теме: «Тригонометрические уравнения (урок обобщения и систематизации знаний)». учителя ...
Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения

. Конспект урока по алгебре в 10 классе. Автор: Березовская Дарья Ивановна.  учитель математики МБОУ «Сухинская СОШ». Тема:  Тригонометрические ...
Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения

Урок соревнование. Тема. «Тригонометрические уравнения». Девиз урока. :. «. Один за всех и все за одного». Ход урока:. Урок –соревнование будет ...
Простейшие тригонометрические уравнения и их решения

Простейшие тригонометрические уравнения и их решения

Алгебра 10 класс. Урок. №32. Дата. 20.11.2014. Тема:. Простейшие тригонометрические уравнения и их решения. Цели и задачи:. Знать формулы по ...
Однородные тригонометрические уравнения

Однородные тригонометрические уравнения

«Однородные тригонометрические уравнения». (алгебра и начала анализа, 10 класс). Пронина Светлана Михайловна. учитель математики. ГБОУ СОШ ...
Тригонометрические преобразования, уравнения и неравенства

Тригонометрические преобразования, уравнения и неравенства

Огаркова И.И. МБОУ «Северомуйская СОШ». Тема урока:. . «Тригонометрические преобразования, уравнения и неравенства». Класс. : 10. Тип урока. ...
Арксинус. Решение уравнения sin t =a

Арксинус. Решение уравнения sin t =a

Муниципальное общеобразовательное учреждение. «Гимназия №87» города Саратова. Методическая разработка. . урока по теме. . «Арксинус. ...
Формула корней квадратного уравнения

Формула корней квадратного уравнения

Урок по теме «Решение квадратных уравнений по формуле»(слайд 1). Цели урока:. познакомить с формулой корней квадратного уравнения и учить применять ...
Формула корней квадратного уравнения

Формула корней квадратного уравнения

Урок по теме. . «Формула корней квадратного уравнения. ». Организационная информация. Тема урока:. . «Формула корней квадратного уравнения. ...
Тригонометрические функции

Тригонометрические функции

Урок по теме:. «. Тригонометрические функции. ». 10 класс. Составитель - учитель математики Апарина Е.Г. с. Майкопское. ...
Задачи на составление уравнения

Задачи на составление уравнения

Задачи на составление уравнения (6 класс).  . В книге напечатаны рассказ и повесть, которые вместе занимают 70 страниц. Повесть занимает в 4 ...
Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения

План – конспект урока. Обобщающий урок алгебры в 11 классе по теме:. «Иррациональные уравнения». Цель:. Обобщить знания по теме: «Иррациональные ...
Рациональные уравнения

Рациональные уравнения

Автор: Жданова Мария Власовна, учитель математики,. МАОУ «Кондратовская СОШ». План-конспект открытого урока алгебры в 8 (1группа) классе в рамках ...
Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения

Урок по теме «Иррациональные уравнения». «Да, мир познания не гладок. И знаем мы со школьных лет. Загадок больше, чем разгадок. И поискам ...
Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. Пролетарская средняя общеобразовательная школа №6 г. Пролетарска Пролетарского района Ростовской ...
Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения

Класс: 11. Предмет: математика. Тема урока:. Иррациональные уравнения. Цели урока:. . 1. . Ввести понятие иррациональных уравнений и показать ...
Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения

Урок алгебры в 8 классе. Учитель: Габдукаева Физалия Каримовна. Тема урока: «Иррациональные уравнения». Цели:. Формирование навыков решения ...
Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение. Великоархангельская средняя общеобразовательная школа. Конспект урока для 11 класса. ...
План урока по теме: Квадратные уравнения

План урока по теме: Квадратные уравнения

План урока по теме : Квадратные уравнения (8 класс). Автор Шаповалова Светлана Эдуардовна. Учитель МБОУ СОШ № 50 им.С.В.Марзоева г.Владикавказ. ...
Решение уравнений. Свойства уравнения

Решение уравнений. Свойства уравнения

Решение уравнений. Свойства уравнения. Предмет. Математика. Класс. 6А. Время. 1 урок (40 мин). Тип урока. : формирование новых знаний. . ...