Презентация "Элементы дифференциального исчисления" по математике – проект, доклад

Элементы дифференциального исчисления

Лекция 4

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. Производные 2. Таблица производных 3. Дифференциал 4. Производные и дифференциалы высших порядков 5. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях 6.Применение производных к исследованию функций 7. Общая схема исследования функции и построение графика

Производная. Задача о касательной

Определение. Если существует предельное положение секущей при стремлении вдоль по кривой, то оно называется касательной к графику функции в точке .

Обозначим угол наклона касательной к графику функции в точке Очевидно, при а стремится к . Тогда угловой коэффициент касательной равен .

Производная. Определение

Пусть функция у = определена в интервале и пусть точка Рассмотрим далее точку В обеих точках вычислим значения функции и разность . Эту разность будем называть приращением функции в фиксированной точке .

Если существует конечный (или бесконечный) = , то он называется конечной (или бесконечной) производной функции в точке и обозначается символами или , т.е.

Примеры

Ясно, что угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания. Приведем примеры.

Уравнение касательной

Касательную как прямую, проходящую через точку касания , задают уравнением . Например, уравнение касательной к кривой в точке (1;2) имеет вид у-2=2(х-1) или 2х-у=0.

Теоремы о производных

Например:

y' не существует в точке

Производная обратной функции

Теорема. Пусть функция х=f(y) монотонна и дифференцируема в некотором интервале (a,b) и имеет в точке у этого интервала не равную нулю производную . Тогда в соответствующей точке х обратная функция имеет производную или .

Для функции y=arcsinx обратной является функция x=siny , которая в интервале (-π/2;π/2) монотонна и дифференцируема. Ее производная в этом интервале в нуль не обращается. Поэтому

Итак, Аналогично можно получить

Теорема о производной сложной функции

Производная степенной функции

Справедливо тождество Тогда

Производные гиперболических функций

Гиперболическими называют функции

Поэтому

Таблица производных

13. 14.

Лекция 5

Дифференцируемая функция

Дифференциал функции

Определение дифференциала

Пусть приращение функции в точке может быть представлено в виде , где -приращение аргумента, А-величина, не зависящая от , -бесконечно малая более высокого порядка , чем при

Тогда главная линейная относительно часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке и обозначается . Итак, по определению . Теорема. Для того чтобы в точке х функция имела дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела производную.

Инвариантность дифференциала

По правилу дифференцирования сложной функции Здесь форма дифференциала остается неизменной, но под дифференциалом аргумента понимается не приращение этого аргумента, а его дифференциал.

Производные высших порядков

Дифференциалы высшего порядка

Дифференциал от дифференциала данной функции называется ее дифференциалом второго порядка и обозначается . По определению Итак, и т.д.

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями И пусть эти функции дифференцируемы. Тогда Если существует вторая производная, то

Пример

Найти производную функции Имеем

Производные неявных функций

Пусть значения х и у связаны уравнением F(x,y)=0. Если функция у=f(х), определенная на некотором промежутке, при подстановке ее вместо у в уравнение F(x,y)=0 обращает это уравнение в тождество, то говорят, что это уравнение задает функцию у=f(х) неявно.

Продифференцируем функцию . Имеем . Отсюда

Продолжение

Найдем вторую производную. Так как то

Логарифмическое дифференцирование

Найти производную функции Прологарифмируем обе части: Теперь берем производную Окончательно