Презентация "Элементы теории вероятностей" по математике – проект, доклад

элементы теории вероятностей

элективный курс для учащихся 9 класса

5klass.net

Содержание:

Предмет теории вероятностей n! Перестановки Размещения Сочетания События Вероятность события Условная вероятность Сумма вероятностей Умножение вероятностей Полная вероятность

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий возможности наступления какого – либо события в определенных условиях.

Основатели: французские ученые 17 века Пьер Ферма и Блез Паскаль

Комбинаторика – раздел математики о выборе и расположении элементов множества на основании каких – либо условий

n – факториал - произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно n! = 1·2 ·3 · ... ·(n – 2)(n – 1)n

0! = 1 1! = 1 2! = 1·2 = 2 3! = 1·2·3 = 6

4! = 1·2·3·4 = 24 5! = 1·2·3·4 ·5 = 120 6! = 1·2·3·4 ·5 ·6 = 720

Вычисли: 5! : 3! = 4! : 6! = 15! · 16 = (n - 1)! · n =

Ответы: 4 · 5 = 20 1 : (5 · 6) =1/ 30 16! n!

Перестановки из n элементов – каждое расположение этих элементов в определенном порядке

Пустое множество можно упорядочить одним способом, т. е. 0!=1

Рn = n! Р3 = 3! =1·2·3 = 6

Решите задачи:

Сколькими способами 4 человека могут расположиться на четырехместной скамейке? Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать? Ольга помнит, что номер телефона подруг оканчивается цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Какое наибольшее число вариантов придется перебрать Оле, чтобы дозвониться подруге? Найдите сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без их повторения)

4! = 24 7! = 5040 3! = 6

1+3+5+7 = 16 – сумма цифр каждого из чисел 4! = 24 – всего таких чисел 16 · 24 = 384 –сумма цифр всех таких чисел

5) Сколько среди четырехзначных чисел (без повторения цифр), составленных из цифр 3, 5, 7, 9, таких, которые: а) начинаются с цифры 3? б) кратны 15? 6) Сколько существует перестановок букв слова «конус», в которых буквы к, о, н стоят рядом в произвольном порядке? 7) Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг – это сборники стихов, так, чтобы сборники стихов стояли рядом в произвольном порядке? 8) Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки на четных?

а) 1·3! = 1·1·2·3 = 6 (для цифры 3 одно расположение, для оставшихся трех 1·2·3) б) т. к. кратно 15, то делится на 3 и 5. сумма цифр числа 3+5+7+9=24 делится на 3, а чтобы делилось и на 5, оно должно оканчиваться цифрой 5, т. е. для цифры 5 – 1 расположение, для остальных трех цифр 3! Ответ: 6

Число перестановок для букв к, о, н 3!=6 Число перестановок для букв кон-у-с 3!=6 Всего перестановок 6 · 6 = 36

Число способов для расположения сборников стихов 5!=120 2) Число способов для расположения сборников стихов и 7 оставшихся книг 8!= 40320 3) Всего способов 120 · 40320 = 4 838 400

5! · 5! = 120 · 120 = 14 400

Размещения – комбинации из m элементов по n, (n

А24 = 12 Число размещений из 4 элементов по 2 равно 12

Аnm = m(m-1)(m-2)... n множителей А24 = 4·3 = 12 (4 группы по 3 комбинации)

Аnm = m!/(m – n)! А24 = 4!/(4 – 2)! = 24/2 = 12 Аmm = m!

Сколькими способами может разместиться семья из трех че-ловек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать? Сколькими способами могут занять 1, 2 и 3 места 8 участниц финального забега на 100 м? На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно вложить в свободные места 2 фотографии; 4 фотографии; 6 фотографий? Сколько трехзначных чисел (без повторения цифр в записи числа) можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6? Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различны и первая цифра отлична от нуля?

А34 = 4 · 3· 2 = 24 способа

А230 = 30 · 29 = 870 способов

А38 = 8 · 7· 6 = 336 способов

А26 = 6 · 5 = 30 способов А46 = 6 · 5 · 4 · 3 =360 А66 = 6! = 720

1. А37 = 7·6·5 = 210 чисел всего; 2. А26 = 6·5 = 30 чисел, которые начинаются с нуля; 3. 210 – 30 = 180 чисел всего

А710 – А69 = 10·9·8·7·6·5·4 - 9·8·7·6·5·4 = 9·8·7·6·5·4·(10 – 1) = 544320 номеров

Сочетания – все комбинации из m элементов по n, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом (n

Сnm – С из m по n Число сочетаний из m элементов по n

Два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом АВ и ВА – не сочетания. В сочетаниях порядок не имеет значения: АВС, ВАС, СВА – в сочетаниях это одна комбинация

С24 = 6

Сnm = Аnm / Рn C24 = А24 / Р2 = (4·3)/2 = 12:2 = 6

Сnm = m!/(n!(m – n)!) C24 = 4!/(2!(4 – 2)!) = 3·4/2 = 12:2 = 6

основное свойство сочетаний: Сnm = Сmm – n Упрощает вычисления, если n>½ m Cmm = m! / (m!(m – m)!)=1 0! = 1

Сколькими способами можно выбрать трех дежурных , если в классе 30 учащихся? Сколькими способами можно выбрать двух человек в президиум, если на собрании присутствуют 78 человек? Сколькими способами можно заполнить лотерейный билет «5 из 36»? 4. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера? 5. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить 4 мальчиков и 3 девочек. Сколькими способами можно это сделать?

C330 = 30!:(3!(30 – 3)!) = (28·29·30):6 = 4060

C278 = 78!:(2!·76!) = (77·78):2 = 3003

C536 = 36!:(5!·31!) = (32·33·34·35·36):(2·3·4·5) = 376992

С416 · С312 = 400 400

Испытание – всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами в одинаковых условиях

С о б ы т и я случайные искомые достоверные невозможные равновозможные несовместные совместные

полная система событий

противоположные события А и А

Задания:

Укажите среди данных событий случайные, достоверные, невозможные: а) свалившийся со стола бутерброд упадет на пол маслом; б) более двух попаданий в мишень при двух выстрелах; в) в следующем году снег в Бекетовской выпадет в понедельник; г) не более двух попаданий в мишень при двух выстрелах; д) в следующем году снег в Бекетовской не выпадет; е) при бросании кубика выпадет четное число очков; ж) в следующем году снег в Бекетовской выпадет.

а,в,е г, ж б, д

2. Какие пары событий совместные и какие несовместные? а) иду-щий впереди человек работает инженером; идущего впереди человека зовут Иваном; б) вышедший из библиотеки человек явля-ется офицером; вышедший из библиотеки человек – допризывник; в) наудачу взятая цифра кратна 5; наудачу взятая цифра больше 7; г) наудачу взятое двузначное число окажется нечетным; наудачу взятое двузначное число разделится на 73.

а, г б, в

3. Какие исходы возможны при следующих испытаниях: а) производится анализ группы крови человека; б) у случайного прохожего спрашивают, на какой день недели приходится его День рождения; в) производится 5 выстрелов в мишень. 4. Какие из перечисленных событий образуют полную систему событий: а) «одно попадание», «2 попадания» и «3 попадания» при трех выстрелах в мишень; б) «задумано четное число» и «задумано нечетное число» при задумывании целого числа; в) «задумано простое число» и «задумано составное число» при задумывании натурального числа. 5. Являются ли противоположными события: а) «два промаха при двух выстрелах» и «хотя бы одно попадание при двух выстрелах»; б) «хотя бы один герб при двух бросаниях монеты» и «хотя бы одна цифра при двух бросаниях монеты»; в) «выпа- дение на игральной кости менее трех очков» и «выпадение на игральной кости более трех очков»; г) «выпадение в сумме 12 очков» и «выпадение в сумме не более 12 очков» при бросании двух костей.

I, II, III, IV 7 исходов 6 исходов а, в б

Вероятность события – это число, которое показывает возможность наступления искомого события А в определенных условиях

Р(А) probabilite

Определение вероятности

Статистическое (опыты) Р(А)~m/n m – все исходы n – нужные исходы

Классическое (логика) Р(А) = m/n m – благоприятные исходы n – равновозможные исходы

Число отн. частота бросков выпадения «орла» 4040 0,5070 4092 0,5005 10 000 0,4979 20 480 0,5068 24 000 0,5005

Какова вероятность выпадения числа очков, кратного 3, при бросании игрального кубика? Задача Даламбера (1717-1783): найти вероятность того, что при подбрасывании двух монет на обеих монетах выпадут «решки». 3. Из 25 экзаменационных билетов ученик успел выучить 11 первых и 8 последних билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет, а) который он не подготовил; б) который он знает? 4. Из колоды в 36 карт случайным образом одновременно вытаскивают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них а) нет пиковой дамы; б) есть пиковая дама?

n = 6, m = 2, Р(А) = 2 : 6 = 1/3

Равновозможные исходы n = 4, благоприятные исходы m = 1 1 монета о о р р о - орел 2 монета о р р о р – решка Р(А) = 1 : 4 = 0,25 = 25%

а) n = С363, m = С353 , Р(А) = 11/12 б) для противоположных событий Р(А) + Р(А) = 1, значит Р(А) = 1 – 11/12 = 1/12

а) n = 25, m = 25 – (8 + 11) = 6, Р(А) = 6 : 25 = 0,24 = 24% б) n = 25, m = 8 + 11 = 19, Р(А) = 19 : 25 = 0,76

Вероятность события А при условии, что наступило событие В, называют условной вероятностью события А

Р(А/В) – условная вероятность события А, или вероятность события А при условии, что наступило событие В

Р(А/В) = Р(АВ) : Р(В) Р(АВ) – вероятность одновременного наступления событий А и В

Пример: пусть в корзине находится 30 последовательно пронумерованных шаров. Событие А: извлечен шар с номером, кратным трем. Событие В: извлечен шар с номером, большим 10. Как эти события связаны друг с другом?

Найдем вероятность наступления события А: n = 30 – всего шаров, m = 10 – число шаров, номер которых кратен 3, Р(А) = m/n = 10/30 = 1/3

Найдем вероятность события А при условии наступления события В, т. е. извлечен шар, с номером, кратным 3, но большим 10. n = 20 – всего шаров с номером, большим 10, m = 10 – 3 = 7 шаров с номером, большим 10, и кратных 3. Р(А) = m/n = 7/20, или Р(А/В) = 7/20

Р(А/В) > Р(А) Наступление события В повысило вероятность события А

Р(АВ) = 7/30 Р(В) = 20/30 Р(А/В) = 7/30 : 20/30 = 7/20

Сложение вероятностей

СУММОЙ конечного числа несовместных событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них А или В

А + В – сумма двух событий А1+А2+...+Аn – сумма n событий

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Р(А) + Р(В) +...+ Р(М) = 1 – вероятность суммы событий полной системы событий; Р(А) + Р(А) = 1 – сумма вероятностей противоположных событий

Умножение вероятностей

Произведением конечного числа независимых событий называется событие, состоящее в том, что каждое из них произойдёт. А и В

АВ – произведение двух событий

Р(АВ) = Р(А)Р(В)

Р(АВС…N) = Р(А)Р(В)Р(С)…Р(N)

ПОЛНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

Пусть полная система состоит из несовместных событий В1, В2, В3, … Рассматриваемое событие А может произойти только вместе с одним из событий В1, В2, В3, … В этом случае находят так называемую ПОЛНУЮ ВЕРОЯТНОСТЬ события А

Р(А) = Р(А/В1)Р(В1) + Р(А/В2)Р(В2) + …