Презентация "Бернард Больцано и его теории" по математике – проект, доклад

“Формула подчас кажется более мудрой, чем выдумавший ее человек.” Б.Больцано

Бернард Больца́но (чеш. Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano; 5 октября 1781, Прага - 18 декабря 1848) — чешский математик, философ и теолог, автор первой строгой теории вещественных чисел и один из основоположников теории множеств.

А. sin ?+? Б. cos ?+? В. cos ?−? Г. sin ?−? Д. sin ? + sin ? Е. sin ? − sin ? Ж. cos ? − cos ? З. cos ? + cos ? И. cos 2? К. sin 2?

1. 2 sin ?+? 2 cos ?−? 2 2. sin ? cos ? + cos ? sin ? 3. cos 2 ?− sin 2 ? 4. 2 cos ?+? 2 cos ?−? 2 5. cos ? cos ? − sin ? sin ? 6. cos ? cos ? + sin ? sin ? 7. 2 sin ?−? 2 cos ?+? 2 8. 2sin ? cos ? 9.−2 sin ?+? 2 sin ?−? 2 10. sin ? cos ? − cos ? sin ?

Математический диктант. Вычислить:

1. sin 10° cos 20° + cos 10° sin 20° 2. cos 18° cos 12° − sin 18° sin 12° 3. sin 50° cos 5° − cos 50° sin 5° 4. cos 75° cos 15° + sin 75° sin 15° 5. tg 35° + tg 10° 1− tg 35° tg 10° 6. tg 10° − tg 55° 1+ tg 10° tg 55°

Найти ошибку:

1 вариант. sin 10°+ sin 50° =2 sin 60° cos 40° = 2· 3 2 cos 40° = 3 cos 40°

2вариант. cos 75°− cos 15° =2 sin 45° cos 30° =2· 2 2 · 3 2 = 6 2

Вычислить:

1. sin 10° cos 20° + cos 10° sin 20° = sin (20°+10°) = sin 30° = 1 2 2. cos 18° cos 12° − sin 18° sin 12° = cos (18°+12°) = cos 30° = 3 2 3. sin 50° cos 5° − cos 50° sin 5° = sin (50°−5°) = sin 45° = 2 2 4. cos 75° cos 15° + sin 75° sin 15° = cos (75°−15°) = cos 60° = 1 2 5. tg 35° + tg 10° 1− tg 35° tg 10° = tg 45° =1 6. tg 10° − tg 55° 1+ tg 10° tg 55° = tg (10°−55°) = −tg 45° =−1

sin 10°+ sin 50° =2 sin 60° cos 40° = 2· 3 2 cos 40° = 3 cos 40°

Правильно: sin 10°+ sin 50° =2 sin 30° cos 20° = 2· 1 2 cos 20° = cos 20°

cos 75°− cos 15° =2 sin 45° cos 30° =2· 2 2 · 3 2 = 6 2

Правильно: cos 75°− cos 15° =−2 sin 45° sin 30° = −2· 2 2 · 1 2 =− 2 2

Найти значение выражения:

а) sin 45° ·cos 15° б) sin π 24 ·cos 5π 24

Тема: Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы

(1) sin ?+? = sin ? cos ? + cos ? sin ? (2) sin ?−? = sin ? cos ? − cos ? sin ? 3 cos ?+? = cos ? cos ? − sin ? sin ? 4 cos ?−? = cos ? cos ? + sin ? sin ?

Если сложить равенства (1) и (2), получим:

sin ?+? + sin ?−? =2 sin ? cos ? ,

т.е. sin ? cos ? = sin ?+? + sin ?−? 2 .

Если сложить равенства (3) и (4), получим:

cos ?+? + cos ?−? =2 cos ? cos ? ,

т.е. cos ? cos ? = cos ?+? + cos ?−? 2 .

Если из равенства(3) вычесть равенство(4), получим:

cos ?+? − cos ?−? =−2 sin ? sin ? ,

т.е. sin ? sin ? = cos ?−? − cos ?+? 2 .

sin ? cos ? = sin ?+? + sin ?−? 2 . cos ? cos ? = cos ?+? + cos ?−? 2 . sin ? sin ? = cos ?−? − cos ?+? 2 .

“Странные законы”

Закон №1: “Увидел сумму – делай произведение”; Закон №2: “Увидел произведение – делай сумму”; Закон №3: “Увидел квадрат – понижай степень”. Бездумное применение этих “законов” часто позволяет определить правильный путь решения примера.