Презентация "Призма и ее свойства" по математике – проект, доклад

ГОУ СПО «Димитровградский технический колледж» Тема: “Призма и ее свойства” Автор: Тихонов Никита Евгеньевич Руководитель: Кузьмина В. В. 2007 г.

Содержание

Историческая справка Призма и ее свойства Решение задач Задачи для самостоятельной работы Литература

Историческая справка

Еще в древности существовали два пути определения геометрических понятий. Первый вел от фигур высшего порядка к фигурам низшего. Такой точки зрения придерживался, в частности, Евклид, определяющий поверхность как границу тела, линию – как границу поверхности, концы же линии – как точки.

Второй путь ведет, наоборот, от фигур низшего измерения к фигурам высшего: движением точки образуется линия, аналогично из линий составляется поверхность и т. д. Одним из первых, который соединил обе эти точки зрения, был Герон Александрийский, писавший, что тело ограничивается поверхностью и вместе с этим может быть рассмотрено как образованное движением поверхности.

В появившихся позже на протяжении веков учебниках геометрии принималась за основу то одна, то другая, а иногда и обе вместе точки зрения.

Евклид употребляет термин «плоскость» как в широком смысле (Рассматривая ее неограниченно продолженной во все направления), так и в смысле конечной, ограниченной ее части, в частности грани, аналогично применению им термина «прямая» ( в широком смысле - бесконечная прямая и в узком – отрезок).

В XVIII в. Тейлор дал такое определение призмы: это многогранник, у которого все грани, кроме двух, параллельны одной прямой.

В настоящее время геометрия тесно переплетается со многими другими разделами математики. Одним из источников развития и образования новых понятий в геометрии, как и в других областях математики, являются современные задачи естествознания, физики и техники.

Термин “призма” греческого происхождения и буквально означает “отпиленное”

ПризмА

Призма

Призма – это тело, ограниченное многогранной поверхностью, две грани которой n – угольники, а остальные n – параллелограммы.

Рассмотрим два равных многоугольника и , расположенных в параллельных плоскостях и так, что отрезки , , ..., , соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны (рис. 1).

1 В А

Каждый из n четырехугольников является параллелограммов, так как имеет попарно параллельные противоположные стороны. Например, в четырехугольнике стороны и параллельны по условию, а стороны и - по свойству параллельных плоскостей, пересеченных третьей плоскостью (рис. 2).

Многоугольники и называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями. Отрезки , называются боковыми ребрами призмы. Призму с основаниями и n - угольной призмой.

( рис. 3)

Призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники. На рисунке 4 изображена правильная шестиугольная призма.

Определение призмы

( рис. 4 )

Поверхность призмы, таким образом, состоит из двух равных многоугольников (оснований) и параллелограммов (боковых граней). Различают призмы треугольные,  четырехугольные, пятиугольные и т.д., в зависимости от числа вершин основания.

Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников. Площадь поверхности многогранника есть сумма площадей всех его граней. Площадь поверхности призм ( ) равна сумме площадей ее боковых граней (площади боковой поверхности) ( ) и площадей двух оснований (2Sосн) - равных многоугольников:

Площадь поверхности призмы

Теорема. Площадь поверхности призмы равна удвоенной площади основания, сложенной с произведением длины бокового ребра на периметр перпендикулярного сечения этой призмы.

Боковые грани прямой призмы – прямоугольники, основания которых – стороны призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. его периметр Р. Итак, Sбок=Рh. Теорема доказана.

Доказательство

Задача на нахождение Sполн призмы.

Вычислить площадь полной поверхности, если высота равна 12см, сторон основания равна 7см. Дано: ABCA1B1C1 - правильная треугольная призма; высота; Н=12см; АС=7см Найти: Sполн.

Решение: Ответ:

Дано: - правильная призма, =8 см, =6 см Найти: Решение: 1) Т.к. призма правильная, то 2) Отсюда:

Решение задач ( рис. 5)

Дано: - правильный Доказать: а) б) прямоугольник Доказательство: 1) Т.к. , то АН - биссектриса - равносторонний, значит по свойству биссектрисы и , значит

( рис. 6)

(определение призмы) и значит - прямоугольник

Докажите, что: а) у прямой призмы все боковые грани – прямоугольники; б) у правильной призмы все боковые грани – равные прямоугольники. Сторона правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдете площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

Задачи для самостоятельной работы

Основаниями прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двухгранные углы при боковых ребрах призмы. Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол 30`. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

Дадаян А. А. Математика: Учебник - М.: ИНФРА - М, 2006 Геометрия 10 - 11; Учеб. Для общеобразовательных учреждений под ред. А. Н. Тихонова - М.: Просвещение, 2001 Internet ресурсы: www.5ballov.ru www.4students.ru

Список используемой лит-ры