Презентация "Алгоритмы теории игр" по математике – проект, доклад

Алгоритмы теории игр

Михаил Лукин, гр. 3539

План лекции

Введение Матричные игры Игры с седловой точкой Смешанные стратегии Применение Итоги Литература

Введение

Первая значительная книга по теории игр появилась в 1944г (Дж. фон Нейман, С. Моргенштерн «Теория игр и экономическое поведение»). Предмет оказался чрезвычайно сложным, даже для математики . Теория игр она нашла свое применение, прежде всего, в военном деле и экономике.

Матричные игры

Этот раздел теории игр является наиболее полно изученным.

Определения

Система Г = (X, Y, K), где X и Y – непустые мно-жества, и функция , называется антагонистической игрой в нормальной форме. Элементы и называются стратегиями игроков 1 и 2 соответственно. Антагонистические игры, в которых оба игрока имеют конченые множества стратегий, называются матричными.

Пусть игрок 1 имеет всего m стратегий, а игрок 2 – n стратегий. Установим биекцию между множест-вами: X и M = {1, …, m}; Y и N = {1, …, n}. Тогда игра Г полностью задается матрицей ,где

Примеры

«Игра на уклонение». Дискретная игра типа дуэли. , i

Игры с седловой точкой

Теорема. Пусть имеются два числовых множества A и B и функция . Тогда . Пусть дана . Точка (x0,y0) называется седловой точкой функции f, если 1. 2.

Игры с седловой точкой 2

Теорема 2. Пусть и существу-ют . Тогда равносильно тому, что f имеет седловую точку. Может ли у матрицы быть несколько седловых точек? Все ли матрицы имеют седловую точку?

Смешанные стратегии

Основная теорема матричных игр. В смешанных стратегиях игра двух лиц с нулевой суммой имеет седловую точку.

Итеративный метод Брауна – Робинсона

Идея метода – многократное фиктивное разыгрывание игры с заданной матрицей выигрыша. Недостаток: малая скорость сходимости.

Монотонный итеративный алгоритм

Пример применения

Выбор оптимальной стратегии в условиях неопределенности.

Итоги

Матричные игры – наиболее изученный раздел теории игр. Основное применение теории игр – – экономика.

Литература

Петросян, Зенкевич, Семина «Теория игр» http://fmi.asf.ru/vavilov/Tiv.htm http://vvo.psati.ru/files/RPU/page2.files/index10.html http://www.dvo.ru/studio/linpro/buka/node20.html – основная теорема двойственности Робинсон Дж. «Итеративный метод решения игр»