Презентация "Анализ количественных признаков" по математике – проект, доклад

Институт общей генетики им. Н.И. Вавилова РАН

3. Анализ количественных признаков

Рубанович А.В. Биостатистика

Чем мы занимались на предыдущем занятии?

Мы вспомнили общепринятые методы описания и представления данных

На примере качественных признаков (данных о частотах) познакомились с принципами построения и проверки статистических гипотез

Поговорили о вероятностях возможных ошибок, возникающих при использовании всякого статистического теста

При этом мы сознательно не затрагивали ряд традиционных для статистики тем: сравнение средних, критерий Стьюдента и т.д.

Отчасти потому, что вы об этом наверняка наслышаны, но в основном из методических соображений

Сравнение средних

Перейдем, наконец, к задаче о сравнении средних для двух выборок.

Например, рост в выборках «М» и «Ж»

Нулевая гипотеза состоит в предположении, что обе выборки изъяты из одной генеральной совокупности (т.е. различий нет):

Дальше надо предложить способ оценить вероятность ошибки I рода

На прошлом занятии мы рассмотрели достаточно универсальный способ построения статистических критериев: Z – статистика, т.е.

Есть надежда, что эта величина имеет нормальное распределение со средним 0 и дисперсией 1. Так оно и есть, но только при больших объемах выборок!

, т.е. разность средних, деленная на стандартное отклонение этой разности.

Распределение Стьюдента очень похоже на нормальное, но имеет большую дисперсию: D(t) = k/(k-2) > 1

При k∞ становится нормальным

Excel умеет вычислять «хвосты» распределения Стьюдента:

= СТЬЮДРАСП(2; 100; 1)

2 означает, что тест двусторонний

0.024

Сравнение выборочного среднего с известным числом

Сравнение двух зависимых выборок

Сравнение двух выборочных средних для независимых выборок

Для каждой особи проводят 2 однотипных замера: - до и после приема лекарства, - в этом году и в прошлом году и т.д.

Возможно раного объема

3 варианта использования теста Стьюдента:

Упражняемся …

15 октября 2011 г. президент Д. Медведев сообщил, что средняя продолжительность жизни в РФ составляет 69 лет

В этом месяце в районном морге побывало 100 клиентов, и получена другая оценка: 623 года. Отличается ли эта оценка от средней по стране?

= СТЬЮДРАСП((69-62)/3; 100-1; 2)

Р = 0.022

Вывод: нулевая гипотеза отвергается. Вероятность того, что при этом отвергли правильную нулевую гипотезу равна 0.022 (ошибка I рода). Выборка по данным районного морга не соответствует среднему по стране. Различия статистически значимы.

Эта запись означает, что наша величина имеет распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы

Никогда не пишите, что различия достоверны! Достоверно это то, что происходит с вероятностью 1

В данном примере среднее для одной выборки сравнивалось с заранее известной величиной. Это так называемый одновыборочный тест

(мы это уже делали: помните 470 из 1000?)

в случае зависимых выборок

Это простой случай. Вычисляется t-статистика

и вес хвостов распределения Стьюдента с n1+n2-2 степенями свободы.

Можно ни о чем этом не думать и использовать

=ТТЕСТ(массив1; массив2; 2; 1)

1 означает, что выборки зависимы

Для независимых выборок все несколько сложнее…

При сравнении средних двух независимых выборок возможны 2 ситуации:

1 = 2 , т.е. изменчивость данных в обеих выборках одинакова

1 ≠ 2 , т.е. изменчивость данных в выборках неодинакова, и эти различия статистически значимы. Тогда вычисляется объединенная дисперсия для двух выборок. Число степеней свободы тоже модифицируется.

Не будем расписывать, как это делается, а запустим Excel

=ТТЕСТ(массив1; массив2; 2; 2)

2 - 1 = 2 3 - 1 ≠ 2

Надо сказать, что Excel не проверяет статистическую значимость 1 ≠ 2 , Более адекватно поступает WinStat

в случае независимых выборок

Упражняемся…

Чему равны стандартные отклонения и ошибки самих оценок (SD и SE)?

Средняя оценка по физике = 3.4. Дисперсия = 0.64

Средняя оценка по физкультуре = 4.6. Дисперсия = 0.44

Можно записать так 3.40±0.08, но не так 3.4±0.08

Считаем t-статистику:

= СТЬЮДРАСП(11,3; 100-2; 2)

Значимо! Р = 10-19

С помощью ???

Сравнение дисперсий

Р. Фишер построил критерий (односторонний) для сравнения дисперсий (F-тест) и вычислил функцию распределения соответствующей статистики.

Не путайте статистику (критерий) Фишера с точным тестом Фишера!

=ФТЕСТ(массив1; массив2)

=FРАСП(1,5;100;100)

В Excel имеется функция, вычисляющая это распределение

Можно также сравнить дисперсии двух выборок

Н0: 1 = 2 против Н1: 1 < 2

Рассмотрим набор k выборок:

Дисперсионный анализ (ANOVA) – сравнение нескольких выборок

Ничего, кроме школьной алгебры!

Средняя дисперсия

Дисперсия средних

Межвыборочная изменчивость

Внутривыборочная изменчивость

Факториальная изменчивость

Остаточная изменчивость

(при k = 2 все сведется к критерию Стьюдента)

Н1: хотя бы одно среднее отличается

Сравнение нескольких выборок

Для нашей учебной базы данных сравним частоты аберраций хромосом для носителей различных генотипов по локусу GSTP1

Межгрупповая дисперсия в 12 раз выше, чем внутригрупповая

Можно обойтись пакетом

«Анализ данных» в Excel

Важное предупреждение

В противном случае можно получить совершенно абсурдный результат:

В какой фирме зарплата выше?

=ТТЕСТ(массив1; массив2; 2; 3)

На этом примере видно, что в ряде случаев надо сравнивать не сами данные, а их порядковые ранги (номера в последовательности)

Средние

Ранговые статистики

Данные Ранги 0.0002

Другое дело! Хотя и это некорректно…

Ранговые критерии

=БИНОМРАСП(1;8;0,5;1) 1 минус из 8

Ранговые критерии являются непараметрическими, т.е. такими, которые не зависят от характера распределения данных. В частности они нечувствительны к выбросам отдельных точек

Самый простой тест – критерий знаков для пары зависимых выборок

0.035

Различия значимы по одностороннему тесту (но не по двустороннему!)

Приводит ли лекарство к увеличению систолического давления?

Для сравнения 2 независимых выборок используется тест Манна – Уитни, который основан на вычислении суммы рангов для каждой из выборок

Как всегда Н0: выборки взяты из одной генеральной совокупности.

В нашем файле смотрим сопряженность заболевания с частотой аберраций

Видим различия средних:

Проверяем значимость различий по Стьюденту:

Различия значимы по Стьюденту (независимо от условия равенства дисперсий )

Но что там с нормальностью?

Проверяем нормальность …

Строим гистограммы распределений аберраций для больных и здоровых:

Какая уж тут нормальностью!

Необходимо использовать непараметрический тест Манна-Уитни

Попробуем все это воспроизвести:

Что значит «незначимо»?

Допустим мы не обнаружили статистическую значимость различий, о чем с грустью сообщаем в публикации. Достаточно ли этого?

НЕТ! Мы должны продемонстрировать, что объемы наших выборок достаточны, чтобы обнаружить эффект, если он существует.

Мощность (чувствительность) используемых тестов должна быть не ниже 80% (тогда упускаем не более 20% открытий)

Только в этом случае незначимые различия можно рассматривать как отрицательный результат

 Мощность всего 29% !

Compare2/ Numerical observations/ Normal distributin/mean value

Тогда по тесту Стьюдента различия незначимы и Р = 0.159

Проверим мощность данного теста

Compare2/ Power/ Comparison of means Size A - 100 Size B – 100 DETECT a difference 2

Чтобы выйти на мощность 80% объемы выборок должны быть 400 и 400

Compare2/ Sample size/ Means

Допустим, что для 2 выборок имеем:

О чем мы обязаны сообщить в публикации (правда биологи этого почти никогда не делают)

т.е. доля упущенных открытий более 70% !

На сегодня это все

Проверяйте характер распределения сравниваемых величин. Или хотя бы стройте гистограммы распределений – для себя.

Напоследок хочу посоветовать:

Поставьте на свой компьютер WinStat и постройте пример использования дисперсионного анализа

На всякий случай проверяйте значимость различий параметрическими и непараметрическими методами.

Оценивай мощность теста в случае получения незначимых результатов