- Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда

Презентация "Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда" по математике – проект, доклад

Слайд 1
Слайд 2
Слайд 3
Слайд 4
Слайд 5
Слайд 6
Слайд 7
Слайд 8
Слайд 9
Слайд 10
Слайд 11
Слайд 12
Слайд 13
Слайд 14
Слайд 15
Слайд 16
Слайд 17

Презентацию на тему "Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда" можно скачать абсолютно бесплатно на нашем сайте. Предмет проекта: Математика. Красочные слайды и иллюстрации помогут вам заинтересовать своих одноклассников или аудиторию. Для просмотра содержимого воспользуйтесь плеером, или если вы хотите скачать доклад - нажмите на соответствующий текст под плеером. Презентация содержит 17 слайд(ов).

Слайды презентации

Проект Семенова Алексея Витальевича Тема: « Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда» Димитровград 2008г.
Слайд 1

Проект Семенова Алексея Витальевича Тема: « Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда» Димитровград 2008г.

Содержание: Определение степенного ряда Примеры степенных рядов Область сходимости степенного ряда. 4. Равномерная сходимость функционального ряда. 5. Нахождение радиуса сходимости ряда. 6. Список использованной литературы.
Слайд 2

Содержание:

Определение степенного ряда Примеры степенных рядов Область сходимости степенного ряда. 4. Равномерная сходимость функционального ряда. 5. Нахождение радиуса сходимости ряда. 6. Список использованной литературы.

Степенной ряд и его область сходимости. Определение: Степенным рядом называется функциональный ряд вида: где. постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда.
Слайд 3

Степенной ряд и его область сходимости.

Определение: Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

где

постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда.

Любой степенной ряд сходится при х=0, т.к. в этой точке все члены ряда (1), кроме первого, - нули. Есть степенные ряды вида (1), которые сходятся лишь в точке х=0; такие ряды относят к рядам первого класса. Например, ряд. сходится лишь в точке х=0; в любой другой точке х≠0 этот ряд расходится. Дейст
Слайд 4

Любой степенной ряд сходится при х=0, т.к. в этой точке все члены ряда (1), кроме первого, - нули. Есть степенные ряды вида (1), которые сходятся лишь в точке х=0; такие ряды относят к рядам первого класса. Например, ряд

сходится лишь в точке х=0; в любой другой точке х≠0 этот ряд расходится. Действительно, при каждом х≠0 из числовой оси имеем числовой ряд. Исследуем его на сходимость. Образуем ряд

Применив к последнему ряду признак Даламбера, получим:

при всех х≠0. Следовательно, ряд (3), значит, и ряд (2) расходятся при всех х≠0.

(1) (2) (3)

Еще в середине 60-х годов XVII века, получив формулу бинома для натурального показателя, Ньютон сразу же приступил к выяснению того, действительна ли она для отрицательных и дробных показателей. В частности, он проверил ее для показателей В первом случае он пришел к ряду , во втором к ряду Здесь, ка
Слайд 5

Еще в середине 60-х годов XVII века, получив формулу бинома для натурального показателя, Ньютон сразу же приступил к выяснению того, действительна ли она для отрицательных и дробных показателей. В частности, он проверил ее для показателей В первом случае он пришел к ряду , во втором к ряду Здесь, как при любом рациональном m, сумма биномиального ряда (при ) дает арифметическое значение радикала.

Получение биномиального ряда

При имеем: Этот ряд сходится при ( ). Однако, результаты Ньютона в этом, как и в других вопросах анализа, были, как известно, опубликованы намного позже их получения автором. Так называемый биномиальный ряд, связанный с именем Ньютона, имеет следующий вид: При этом m – любое, отличное от нуля вещест
Слайд 6

При имеем: Этот ряд сходится при ( ). Однако, результаты Ньютона в этом, как и в других вопросах анализа, были, как известно, опубликованы намного позже их получения автором. Так называемый биномиальный ряд, связанный с именем Ньютона, имеет следующий вид: При этом m – любое, отличное от нуля вещественное число. Этот ряд сходится при , т.е. при Доказательство разложения для любого вещественного m , было дано Эйлером.

Способ разложения в ряд, предложенный Ньютоном. Одним из способов разложения в ряды, применявшихся Ньютоном, было обращение ряда; например, исходя из логарифмического ряда в котором x разложен по степеням y, он устанавливает обратное разложение y по степеням x , получая: или , который представляет с
Слайд 7

Способ разложения в ряд, предложенный Ньютоном

Одним из способов разложения в ряды, применявшихся Ньютоном, было обращение ряда; например, исходя из логарифмического ряда в котором x разложен по степеням y, он устанавливает обратное разложение y по степеням x , получая: или , который представляет собой показательный ряд, он сходится для любого х.

Заменив в ряде х на –х2 , найдем: Этот ряд Ньютон проинтегрировал почленно, получив: Ряд сходится на отрезке
Слайд 8

Заменив в ряде х на –х2 , найдем: Этот ряд Ньютон проинтегрировал почленно, получив: Ряд сходится на отрезке

Область сходимости степенного ряда. Теорема. Для всякого степенного ряда существует такое число , что степенной ряд сходится при и расходится при Таким образом, область сходимости степенного ряда есть круг с центром в точке а радиуса R, который называется кругом сходимости. Число R называется радиус
Слайд 9

Область сходимости степенного ряда

Теорема. Для всякого степенного ряда существует такое число , что степенной ряд сходится при и расходится при Таким образом, область сходимости степенного ряда есть круг с центром в точке а радиуса R, который называется кругом сходимости. Число R называется радиусом сходимости ряда.

Отметим еще, что общего ответа на вопрос о сходимости степенного ряда на границе круга сходимости, то есть при. , дать нельзя. В каждом конкретном случае этот вопрос надо рассматривать отдельно. Заметьте еще, что при R=0 степенной ряд сходится только в точке z=a; при R=+ степенной ряд сходится.
Слайд 10

Отметим еще, что общего ответа на вопрос о сходимости степенного ряда на границе круга сходимости, то есть при

, дать нельзя. В каждом конкретном случае этот вопрос надо рассматривать отдельно. Заметьте еще, что при R=0 степенной ряд сходится только в точке z=a; при R=+ степенной ряд сходится.

Нахождение радиуса сходимости ряда. Важнейшая характеристика степенного ряда – его радиус сходимости – находится одним из следующих способов. 1. Если существует , то . 2. Если существует , то . 3. Пусть . Тогда .
Слайд 11

Нахождение радиуса сходимости ряда

Важнейшая характеристика степенного ряда – его радиус сходимости – находится одним из следующих способов. 1. Если существует , то . 2. Если существует , то . 3. Пусть . Тогда .

ПРИМЕР . Определить интервал сходимости ряда и исследовать его на концах интервала: Решение. Т.к. степенной ряд по теореме Абеля сходится абсолютно в интервале сходимости, то рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда Это ряд положительный, поэтому мы можем для его исслед
Слайд 12

ПРИМЕР . Определить интервал сходимости ряда и исследовать его на концах интервала:

Решение. Т.к. степенной ряд по теореме Абеля сходится абсолютно в интервале сходимости, то рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда Это ряд положительный, поэтому мы можем для его исследования применить признак Даламбера. , . Получили интервал сходимости данного ряда IxI

Исследуем сходимость данного ряда на концах интервала. x= - 3 подставим в данный ряд, получим . Полученный знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. Первое условие признака Лейбница выполняется, т.к. Второе условие признака Лейбница также выполняется, т.к.
Слайд 13

Исследуем сходимость данного ряда на концах интервала

x= - 3 подставим в данный ряд, получим . Полученный знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. Первое условие признака Лейбница выполняется, т.к. Второе условие признака Лейбница также выполняется, т.к.

x= - 3 подставим в исходный ряд, получим гармонический ряд, он расходится. Следовательно, областью сходимости данного ряда является промежуток . Ответ: или
Слайд 14

x= - 3 подставим в исходный ряд, получим гармонический ряд, он расходится. Следовательно, областью сходимости данного ряда является промежуток . Ответ: или

Леонард Эйлер (1707-1783) Швейцарский математик и механик, академик Петербургской Академии наук, автор огромного количества научных открытий во всех областях математики. Эйлер первым применил средства математического анализа в теории чисел, положил начало топологии. Краткая историческая справка
Слайд 15

Леонард Эйлер (1707-1783) Швейцарский математик и механик, академик Петербургской Академии наук, автор огромного количества научных открытий во всех областях математики. Эйлер первым применил средства математического анализа в теории чисел, положил начало топологии.

Краткая историческая справка

Исаак Ньютон (1643 – 1727). В 1665 г. Исаак Ньютон окончил Кембриджский Университет и собирался начать работу там же, в его родном Тринити-колледже. Он открыл закон всемирного тяготения и приступил с его помощью к исследованию планет. Но чтобы исследовать и выражать законы физики, Ньютону приходилос
Слайд 16

Исаак Ньютон (1643 – 1727)

В 1665 г. Исаак Ньютон окончил Кембриджский Университет и собирался начать работу там же, в его родном Тринити-колледже. Он открыл закон всемирного тяготения и приступил с его помощью к исследованию планет. Но чтобы исследовать и выражать законы физики, Ньютону приходилось заниматься и математикой. В Вулстропе Ньютон, решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, создает общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных) и флюэнт, которые у Г.В. Лейбница назывались дифференциалами. Ньютон так же находит формулу для различных степеней суммы двух чисел, причем не ограничивается натуральными показателями и приходит к суммам бесконечных рядов чисел. Ньютон показал, как применять ряды в математических исследованиях. Работы Ньютона надолго опередили пути развития физики и математики. Закон всемирного тяготения постепенно осознавался как единый принцип, , позволяющий строить совершенную теорию движения небесных тел. Созданный им математический анализ открыл новую эпоху в математике.

Список использованной литературы: И.И. Баврин, В.А. Матросов Общий курс высшей математики. 2. М.Я. Выгодский Справочник по высшей математике для ВУЗов. 3. Б.В. Соболь Практикум по высшей математике/ Ростов н/Д: Феникс, 2006,-640 с.
Слайд 17

Список использованной литературы:

И.И. Баврин, В.А. Матросов Общий курс высшей математики. 2. М.Я. Выгодский Справочник по высшей математике для ВУЗов. 3. Б.В. Соболь Практикум по высшей математике/ Ростов н/Д: Феникс, 2006,-640 с.

Список похожих презентаций

Степенные ряды

Степенные ряды

Функциональные ряды. Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным и обозначается . Если при ряд сходится, то называется точкой ...
Функция. Область определения и множество значений.

Функция. Область определения и множество значений.

Цели : Повторение основных сведений о функции, полученных в 7-8 кл. Формирование понятий области определения и множества значений функции. Развитие ...
Степенные функции с отрицательным целым чётным показателем

Степенные функции с отрицательным целым чётным показателем

повторение. График какой функций изображен на рисунке. (данный график построен из графика функции ) Прочитайте данный график. Ни чётная, ни нечётная. ...
Степенные функции

Степенные функции

“СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ” Степенная функция с нечетным натуральным показателем. Корень нечетной степени. Степенная функция с четным натуральным показателем. ...
Статистические характеристики интервального ряда

Статистические характеристики интервального ряда

Тема урока: «Статистические характеристики интервального ряда». Тип урока: повторительно - обобщительный урок. Цели и задачи : - повторить основные ...
Размах и мода ряда чисел

Размах и мода ряда чисел

. Повторение изученного. Вычисли: А) 3! = В) 5! – 4! = Б) 5! = Г) 2! + 3! = Найди среднее арифметическое чисел: А) 4,4,7 Б) 10,5,5,8 В) 250,50,100,100,500. ...
Свойства натурального ряда

Свойства натурального ряда

ИССЛЕДОВАНИЕ. ИССЛЕДОВАНИЕ Предмет исследования. ИССЛЕДОВАНИЕ Предмет исследования Свойства натурального ряда. ИССЛЕДОВАНИЕ Предмет исследования Свойства ...
Область определения функций

Область определения функций

Методическая разработка по Алгебре и началам анализа преподавателя математики СК-38 Чуриловой Г.Б. План разработки: Область определения функции. Линейная ...
Область определения функции

Область определения функции

. . Найдите область определения функции. Цель. Научиться находить область определения функции, заданной аналитически Задачи: построить алгоритм нахождения ...
Числовые ряды Миронюк

Числовые ряды Миронюк

- Определение числового ряда - Сумма ряда - Примеры числовых рядов - Определение частичной суммы - Сходящиеся и расходящиеся ряды - Признак Даламбера, ...
Область определения и область изменения функции - Ограниченность функции

Область определения и область изменения функции - Ограниченность функции

Укажите область определения функции. 17.08.2018. Устно:. Даны элементарные функции: Задайте сложную функцию:. Вычислите значение сложной функции:. ...
Вариационные ряды распределения

Вариационные ряды распределения

Статистические ряды распределения. Определение. Виды. Примеры. Атрибутивный ряд распределения. Вариационный ряд распределения. Графическое изображение ...
«Координатная плоскость» математика

«Координатная плоскость» математика

Цели и задачи урока:. 1. Ввести понятие координатной плоскости, уметь определять координаты точек, строить точки по их координатам. 2. Развивать мышление, ...
Конкурсный урок математика

Конкурсный урок математика

У Ромы не «3», а у Лены не «3» и не «5». Кто какую отметку получил? Проверь себя! 4 5. Запомни! . . Какую из этих схем составила Таня? I способ: 90 ...
Куда пропала математика?

Куда пропала математика?

Замочек №1. Задача 1. Часто знает и дошкольник, Что такое треугольник. А уж вам-то как не знать! Но совсем другое дело: Очень быстро и умело Треугольники ...
Занимательная математика Думай, считай, отгадывай!

Занимательная математика Думай, считай, отгадывай!

г.Санкт-Петербург. Ростральная колонна. телевизионная башня. Исаакиевский собор. Зимний дворец. Нева. а) Высота Ростральных колонн (в метрах). б) ...
Интересная математика

Интересная математика

Франция Герб Франции Флаг Франции. . Страна граничит с 8 странами: Италией, Испанией, Бельгией, Люксембургом, Германией, Швейцарией, Монако и Андоррой. ...
Занимательная математика

Занимательная математика

Добрый день! Приветствую вас, мои юные друзья математики. Удачи вам! Ваш друг Математик. Славянская кириллическая десятеричная алфавитная нумерация. ...
Занимательная математика для

Занимательная математика для

23 х 25 = 7)42 + 22 = 54 : 5= 8)52 +14 = 119 = 9)62 – 23 = 291 = 10)102 – 92 = 42 = 52 =. I. Немного по теме. II. Задачи без возраста. Задача 1. Четверо ...

Конспекты

Функция. Область определения и область значений функции

Функция. Область определения и область значений функции

Конспект урока алгебры в 9 классе. Тема урока. «Функция. Область определения и область значений функции». Цель урока:. закрепить знания и сформировать ...
Степенные функции, их свойства и графики

Степенные функции, их свойства и графики

Тема урока:. . «Степенные функции, их свойства и графики». . Цели урока:. . Образовательная:. Создать условия для закрепления знаний о свойствах ...
Степенные функции, их свойства и графики

Степенные функции, их свойства и графики

Конспект урока на тему. «Степенные функции, их свойства и графики». Учитель. : Чижова Светлана Анатольевна г. Иваново. Тип урока:. урок формирования ...
Свойство упорядоченности и бесконечности числового ряда

Свойство упорядоченности и бесконечности числового ряда

. Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. Средняя общеобразовательная школа № 3. . Конспект урока по математике. «Свойство ...
Степени и корни. Степенные функции

Степени и корни. Степенные функции

Поурочные разработки. по. . алгебре и началам анализа к УМК А.Г. Мордковича 11 класс. Глава 6. . Степени и корни. Степенные функции. . Урок ...
Определение числовой функции. Область определения, область значений функции

Определение числовой функции. Область определения, область значений функции

Муниципальное общеобразовательное учреждение. Оковецкая средняя общеобразовательная школа. Селижаровский район Тверская область. Тема урока:. ...
Область определения функции

Область определения функции

Муниципальная общеобразовательная средняя школа № 14. Конспект урока по теме:. «Область определения функции». ...
Запись ряда чисел при счете предметов (отрезок натурального ряда чисел)

Запись ряда чисел при счете предметов (отрезок натурального ряда чисел)

технологическая карта урока. Учитель Морозова Ирина Юрьевна. . Класс 1. . Предмет:. математика. Тема:. «Запись ряда чисел при счете ...
Закрепление числового ряда от 1 до 5

Закрепление числового ряда от 1 до 5

Конспект по математике в средней группе №5. Тема :«Закрепление числового ряда от 1 до 5». Программные задачи:. Формировать умение ориентироваться ...
Закономерность в записи ряда чисел. Закрепление пройденного материала. Отработка вычислительных навыков

Закономерность в записи ряда чисел. Закрепление пройденного материала. Отработка вычислительных навыков

МБОУ Камышевская СОШ. Окрытый урок по математике. во 2 классе. . по теме :. « Закономерность в записи ряда чисел. Закрепление ...

Советы как сделать хороший доклад презентации или проекта

  1. Постарайтесь вовлечь аудиторию в рассказ, настройте взаимодействие с аудиторией с помощью наводящих вопросов, игровой части, не бойтесь пошутить и искренне улыбнуться (где это уместно).
  2. Старайтесь объяснять слайд своими словами, добавлять дополнительные интересные факты, не нужно просто читать информацию со слайдов, ее аудитория может прочитать и сама.
  3. Не нужно перегружать слайды Вашего проекта текстовыми блоками, больше иллюстраций и минимум текста позволят лучше донести информацию и привлечь внимание. На слайде должна быть только ключевая информация, остальное лучше рассказать слушателям устно.
  4. Текст должен быть хорошо читаемым, иначе аудитория не сможет увидеть подаваемую информацию, будет сильно отвлекаться от рассказа, пытаясь хоть что-то разобрать, или вовсе утратит весь интерес. Для этого нужно правильно подобрать шрифт, учитывая, где и как будет происходить трансляция презентации, а также правильно подобрать сочетание фона и текста.
  5. Важно провести репетицию Вашего доклада, продумать, как Вы поздороваетесь с аудиторией, что скажете первым, как закончите презентацию. Все приходит с опытом.
  6. Правильно подберите наряд, т.к. одежда докладчика также играет большую роль в восприятии его выступления.
  7. Старайтесь говорить уверенно, плавно и связно.
  8. Старайтесь получить удовольствие от выступления, тогда Вы сможете быть более непринужденным и будете меньше волноваться.