Презентация "Числовые ряды Миронюк" по математике – проект, доклад

Числовые ряды

Вып.: ст. ХК ГУТ гр. СО-11 Миронюк Сергей

- Определение числового ряда - Сумма ряда - Примеры числовых рядов - Определение частичной суммы - Сходящиеся и расходящиеся ряды - Признак Даламбера, исследование на сходимость

Содержание

Еще в древности ученые встречались с понятием бесконечных последовательностей: U1, u2, u3, un, …, и с понятием бесконечных рядов u1 + u2 + u3 + … + un + … числа u1, u2 , u3, … – члены ряда. Пользуясь введенным Эйлером знаком суммы , рассмотрим частичные суммы данного ряда. s1 = u1 – первая частичная сумма, s2 = u1 + u2 – вторая частичная сумма, s3 = u1 + u2 + u3 – третья и т.д. Сумма sn = u1 + u2 + u3 + … + un - частичная сумма ряда.

Определение числового ряда

u1, u2 , u3, …, un, … s1, s2 , s3, …, sn, … , где s1 = u1, s2 = u1 + u2, s3 = u1 + u2 + u3, …………………………… sn = u 1+ u2 + u3 + … + un, …………………………… При частичная сумма имеет предел

Сумма ряда

Сходящиеся и расходящиеся ряды

Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел Этот предел называется суммой сходящегося ряда. Если последовательность частичных сумм не имеет конечного предела, то ряд называется расходящимся.

Пример 1 Выражение 1 + (–1) + 1 + (–1) + … + (–1)n+1 + … является рядом. Составим частичные суммы s1 = 1, s2 = 1 – 1 = 0, s3 = 1 – 1 + 1 = 1, …,

Примеры числовых рядов

Пример 2 Выражение является рядом. Из членов составляют частичные суммы

Пример 3 Ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … + n + … - расходящийся, т.к. последовательность его частичных сумм s1 = 1, s2 = 3, s3 = 6, … , имеет бесконечный предел.

Примеры сходящихся и расходящихся рядов

Пример 4 Ряд 1 – 1 + 1 – 1+ … +(-1)n+1 + … - расходящийся, т.к. последовательность его частичных сумм не имеет никакого предела.

Поэтому

Исследование на сходимость.

Ряд u1 + u2 + … + un + … может сходится, когда общий член ряда un стремится к нулю:

Необходимое условие сходимости ряда

Пример 5 Ряд 0,4 + 0,44 + 0,444 + 0,4444 + … - расходится, т.к. общий член ряда не стремиться к нулю. Пример 6 Ряд 1 – 1 + 1 – 1 + … - расходится, т.к. общий член ряда не стремится к нулю.

Если знаменатель прогрессии удовлетворяет неравенству: |q|

Признак Даламбера

Если члены положительного ряда а1+а2+ …+ аn+… таковы, что существует , то при ряд сходится, а при ряд расходится.

Применение признака Даламбера

Примеры Исследовать на сходимость следующие ряды: 1. 2. Решение: воспользуемся признаком Даламбера: ряд сходится.

Решение второго примера: т.к. , то ряд расходится.

Краткая историческая справка

Жан Лерон Д'Аламбер (1717-1783) — французский математик, механик и философ-просветитель, иностранный почетный член Петербургской АН (1764). В 1751-57 вместе с Дени Дидро редактор «Энциклопедии». Сформулировал правила составления дифференциальных уравнений движения материальных систем (см. ниже Д'Аламбера принцип). Обосновал теорию возмущения планет. Труды по математическому анализу, теории дифференциальных уравнений, теории рядов, алгебре.