Презентация "Элементы линейной и векторной алгебры" – проект, доклад

Тема 1 «Элементы линейной и векторной алгебры»

Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Г.В. Аверкова Курс «Высшая математика»

Понятия о матрицах, действия с ними, обратная матрица, матричная запись и матричный способ решения системы линейных уравнений, ранг матрицы, эквивалентные матрицы, исследование на совместность системы линейных уравнений, решение систем методом Гаусса

Цели и задачи

Цели: Рассмотреть основные понятия по теме «Элементы линейной и векторной алгебры» Задачи: Ввести понятия матрицы и определителя квадратной матрицы Рассмотреть действия над матрицами и их свойства Исследовать СЛАУ на совместность и рассмотреть различные способы решения систем

Теоретический материал

Матрицей называется прямоугольная таблица вида

Матрицы одинаковой размерности называются равными, если их соответствующие элементы равны.

Матрица с одинаковым числом строк и столбцов называется квадратной. Квадратная матрица, все диагональные элементы которой равны 1, а остальные равны нулю, называется единичной матрицей

Действия над матрицами

1. Сложение и вычитание матриц одинаковой размерности

2. Умножение матрицы любой размерности на число

Если и , то

3. Транспонирование матрицы любой размерности

4. Умножение матриц соответствующей размерности

Определитель квадратной матрицы

Определитель матрицы второго порядка вычисляется по правилу:

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется по правилу:

Минором элемента квадратной матрицы порядка n называется определитель порядка n-1, полученный из определителя матрицы вычеркиванием соответствующих строки и столбца. Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком + (плюс), если сумма номеров строки и столбца является четным числом, и со знаком – (минус) в противном случае. Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения, т.е.

Две квадратные матрицы одинаковой размерности называются взаимно обратными, если их произведение с любым порядком множителей равно единичной матрице соответствующей размерности.

Обратная матрица

Теорема. Для любой невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица, определяемая по формуле

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования: перестановка двух строк (или двух столбцов); умножение всех элементов строки (или столбца) на любое ненулевое число; прибавление ко всем элементам строки (или столбца) соответствующих элементов другой строки (другого столбца), умноженных на одно и то же число; транспонирование, т.е. замена каждой строки столбцом с соответствующим номером.

Элементарные преобразования

Теорема. При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не меняется.

Системы линейных алгебраических уравнений

Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется совокупность вида

Если все свободные члены равны нулю, то система линейных алгебраических уравнений (сокращенно СЛАУ) называется однородной, в противном случае – неоднородной. Решением СЛАУ называется совокупность значений переменных, которые при подстановке каждое уравнение системы обращают в тождество.

Исследование СЛАУ на совместность

Решить линейную систему – это значит: 1) выяснить, является ли система совместной или несовместной; 2) если система совместна, то найти множество ее решений.

Теорема (Кронекера - Капелли). Линейная система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы равны. Следствие. Совместная система является определенной, если ранг матрицы системы равен числу неизвестных, и неопределенной, в противном случае.

Метод Гаусса решения систем

Данный метод последовательного исключения переменных является универсальным, и применяется для решения произвольной системы линейных алгебраических уравнений. При методе Гаусса систему приводят к более простому виду с помощью следующих элементарных преобразований: изменение порядка уравнений; умножение уравнения на ненулевое число; прибавление к уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число. Элементарные преобразования СЛАУ приводят к эквивалентным системам, а значит, не меняют решений исходной системы.

Матричная форма записи системы

Для системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

матричная форма записи системы имеет вид:

с введенными обозначения для матрицы системы, столбца неизвестных и столбца свободных слагаемых

Матричный способ решения систем

Данный метод применяется для решения системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными с невырожденной матрицей системы

Матрица-решение системы находится по формуле:

Ключевые понятия

Матрица Определитель Ранг матрицы Обратная матрица Система уравнений Решение системы Метод Гуасса Матричный способ

Контрольные вопросы

Определение прямоугольной и квадратной матрицы Определитель квадратной матрицы Ранг матрицы и способы его вычисления Единичная матрица и обратная матрица Система линейных алгебраических уравнений Решение СЛАУ. Совместная СЛАУ Метод Гуасса решения СЛАУ Матричный способ решение СЛАУ

Дополнительная литература