Презентация "Квадратное уравнение. Неполные квадратные уравнения" по математике – проект, доклад

Учитель: Ходырева В.Н.

Урок алгебры в 8 классе по теме: «Квадратное уравнение. Неполные квадратные уравнения»

Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным сопряжением. Извне он может получить только возбуждение. А. Дистервег.

Устные упражнения:

1. Вычислите: а) √49+√9; б) √121-√1; в) (√17)²+(√3)²; г) 2√64-36; д) (√0,01+√0,81)²-4² 2. Реши уравнение: х²=16; х²=-4; х²=0; х²=7; 3х²=48; 4х²=-16; 5х²=0; 2х²-14=0

3. Проверь решение уравнений и найди ошибки: а). х²-2х=0 б). х²+7х=0 х(х+2)=0 х(х+7)=0 х=0 или х+2=0 х=0 или х=7 х=-2 Ответ: х₁ =0; х₂=7 Ответ: х₁=0; х₂=-2 в). 5х²+10х=0 г). 8х²+16=0 5х(х+10)=0 8х²=-16 х=0 или х+10=0 х²=-16:8 х=-10 х²=-2 Ответ: х₁=0; х₂=-10 Ответ: корней нет д). 7х²-14=0 7х²=14 х²=14:7 х²=2 х₁= √2 х₂=- √2 Ответ: х₁= √2 х₂=- √2

Объяснение нового материала

ах²+bх+с=0 - квадратное уравнение, где х – переменная, а, b, с – некоторые числа, а≠0 ах²+bх+с=0 – уравнение второй степени. а, b, с – коэффициенты квадратного уравнения. а – первый коэффициент; b – второй коэффициент; с – свободный член.

Приведённое квадратное уравнение

Если а=1, то уравнение называется приведённым. Примеры: х²+7-4=0 х²-4+1=0 5х+х²-3=0 -8+4х+х²=0

Среди квадратных уравнений найди приведённые

а). 3х²+х-7=0 б). х²-11х+0,2=0 в). 7х+х²-4=0 г). х+5х²-14=0 д). 3х²+3х-5=0 е). 0,1х²-4х-0,7=0

Историческая справка

Неполные квадратные уравнения умели решать вавилоняне (2тыс. лет до н.э.) Некоторые виды квадратных уравнений могли решать древнегреческие математики, сводя их к геометрическим построениям. Диофант Александрийский в 6, дошедших до нас из 13 книг «Арифметика», объясняет как решать уравнения вида ах²=b. Способ решения полных квадратных уравнений Диофант изложил в книгах «Арифметика», которые не сохранились (IIIв)

Правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду ах²+bх=с, где а>0 дал индийский учёный Брахмагупта (VIIв) В трактате «Китаб аль – джебр валь- мукабала» хорезмский математик аль – Хорезми разъясняет приёмы решения уравнений вида ах²=bх, ах²=с, ах²+с=bх, ах²+bх=с, bх+с=ах² (а>0; b>0; с>0).

Общее правило решения квадратных уравнений было сформулировано немецким математиком М.Штифелем (1487 - 1567). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет.

После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595 - 1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид. Рене Декарт Исаак Ньютон (1596 – 1650 г.) (1643 – 1727г.)

Объяснение нового материала I. неполные квадратные уравнения

ах²+с=0, где с≠0; в=0 ах²=-с х²=-с/а 1). -с/а>0 – 2 корня х₁=-√-с/а х₂=√-с/а 2). -с/а

II. ах²+bх=0 b≠0, с=0 х(ах+b)=0 х=0 или ах+b=0 ах=-b х=-b/а Пример 3: 4х²+9х=0 х(4х+9)=0 х=0 или 4х+9=0 4х=-9 х=-9:4 х=-2,25 Ответ: х₁=0, х₂=-2,25

III. ах²=0, b=0, с=0 х²=0:а х²=0 x=0 Пример 4: 3х²=0 х²=0 х=0

Неполные квадратные уравнения

aх²+c=0, b=0, c≠0 ax²+bx=0, c=0, b≠0 ax²=0, c=0, b=0

Какое уравнение лишнее?

3х²-4х+5=0 8х²-7х+1=0 -7х²+8х-3=0 6х²+8х=0 1,1х²-0,3х-0,5=0 5х²-7=0 х²-4х+3=0 8х²-3=0 -0,2х²-х+11=0 5х²+8=0 9х²+3х=0 6х²=0 -0,3х²-4=0 -2х²-8х=0 11х²+8=0

проверка

№ 515 б). -х²+3=0 -х²=-3 х²=3 х₁=√3, х₂=-√3 Ответ: х₁=√3, х₂=-√3 г). у²-1/9=0 у²=1/9 у₁=√1/9; у₁=1/3, у₂=-√1/9; у₂=-1/3 Ответ: у₁=1/3, у₂=-1/3

№ 517 б). -5х²+6х=0 х(-5х+6)=0 х=0 или -5х+6=0 -5х=-6 х=1,2 Ответ: х₁=0, х₂=1,2 г). 4а²-3а=0 а(4а-3)=0 а=0 или 4а-3=0 4а=3 а=3:4 а=0,75 Ответ:а₁=0, а₂=0,75

Что общего у уравнений?

3х²+7х+5=0 х²+7х+5=0 0,2х²-4х+1=0 х²4х+1=0 17х²-5х+3,2=0 х²-5х+3,2=0 8,7х²-11х+4,8=0 х²-11х+4,8=0 15х+4х²-9=0 х²+4х²-9=0 3х²+7х=0 0,2х²+1=0 17х²=0 8,7х²-11х=0 4х²=0

вопросы?:

Какое уравнение называется квадратным? Какое уравнение называется приведённым? Какие уравнения называются неполными квадратными?

Задание на дом:

§8,п.21, № 518, № 519, Историческая задача

Спасибо за урок!